Презентация "Применение производной в различных областях науки"

«Применение производной в различных областях науки» Кроссворд«Повторение-мать учения!»

1.т
р
а
н
с
ц	2.		4.					9.
е					6.		8.
н				5.		7.			10.
д		3.								11.	12.
е
н
т
н
о
с
т
ь

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.					9.
е	о				6.		8.
н	с			5.		7.			10.
д	и	3.								11.	12.
е	н
н	у
т	с
н
о
с
т
ь

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.					9.
е	о				6.		8.
н	с			5.		7.			10.
д	и	3.ф								11.	12.
е	н	у
н	у	н
т	с	к
н		ц
о		и
с		я
т
ь

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.
е	о		о		6.		8.
н	с		э	5.		7.			10.
д	и	3.ф	ф							11.	12.
е	н	у	ф
н	у	н	и
т	с	к	ц
н		ц	и
о		и	е
с		я	н
т			т
ь

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.
е	о		о		6.		8.
н	с		э	5.н		7.			10.
д	и	3.ф	ф	е						11.	12.
е	н	у	ф	р
н	у	н	и	а
т	с	к	ц	в
н		ц	и	е
о		и	е	н
с		я	н	с
т			т	т
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.
е	о		о		6.о		8.
н	с		э	5.н	к	7.			10.
д	и	3.ф	ф	е	р					11.	12.
е	н	у	ф	р	у
н	у	н	и	а	ж
т	с	к	ц	в	н
н		ц	и	е	о
о		и	е	н	с
с		я	н	с	т
т			т	т	ь
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.
е	о		о		6.о		8.
н	с		э	5.н	к	7.г			10.
д	и	3.ф	ф	е	р	е				11.	12.
е	н	у	ф	р	у	о
н	у	н	и	а	ж	м
т	с	к	ц	в	н	е
н		ц	и	е	о	т
о		и	е	н	с	р
с		я	н	с	т	и
т			т	т	ь	я
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.
е	о		о		6.о		8.т
н	с		э	5.н	к	7.г	а		10.
д	и	3.ф	ф	е	р	е	н			11.	12.
е	н	у	ф	р	у	о	г
н	у	н	и	а	ж	м	е
т	с	к	ц	в	н	е	н
н		ц	и	е	о	т	с
о		и	е	н	с	р
с		я	н	с	т	и
т			т	т	ь	я
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.п
е	о		о		6.о		8.т	р
н	с		э	5.н	к	7.г	а	о	10.
д	и	3.ф	ф	е	р	е	н	ц		11.	12.
е	н	у	ф	р	у	о	г	е
н	у	н	и	а	ж	м	е	н
т	с	к	ц	в	н	е	н	т
н		ц	и	е	о	т	с
о		и	е	н	с	р
с		я	н	с	т	и
т			т	т	ь	я
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.п
е	о		о		6.о		8.т	р
н	с		э	5.н	к	7.г	а	о	10.с
д	и	3.ф	ф	е	р	е	н	ц	и	11.	12.
е	н	у	ф	р	у	о	г	е	н
н	у	н	и	а	ж	м	е	н	у
т	с	к	ц	в	н	е	н	т	с
н		ц	и	е	о	т	с
о		и	е	н	с	р
с		я	н	с	т	и
т			т	т	ь	я
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.п
е	о		о		6.о		8.т	р
н	с		э	5.н	к	7.г	а	о	10.с
д	и	3.ф	ф	е	р	е	н	ц	и	11.а	12.
е	н	у	ф	р	у	о	г	е	н	р
н	у	н	и	а	ж	м	е	н	у	г
т	с	к	ц	в	н	е	н	т	с	у
н		ц	и	е	о	т	с			м
о		и	е	н	с	р				е
с		я	н	с	т	и				н
т			т	т	ь	я				т
ь				в
				о

1.т
р
а
н
с
ц	2.к		4.к					9.п
е	о		о		6.о		8.т	р
н	с		э	5.н	к	7.г	а	о	10.с
д	и	3.ф	ф	е	р	е	н	ц	и	11.а	12.л
е	н	у	ф	р	у	о	г	е	н	р	о
н	у	н	и	а	ж	м	е	н	у	г	г
т	с	к	ц	в	н	е	н	т	с	у	а
н		ц	и	е	о	т	с			м	р
о		и	е	н	с	р				е	и
с		я	н	с	т	и				н	ф
т			т	т	ь	я				т	м
ь				в
				о

Игра «Домино». Игра «Домино». В комплекте «Домино» 20 карточек у студента. Пары  перемешивают свои карточки, делят пополам  и начинают раскладывать домино с карточки, в которой заполнена только правая или левая часть. Далее вы должны найти на другой карточке выражение  тождественно равное выражению на первой карточке и т. д. В результате получается цепочка. Домино считается разложенным только тогда, когда все карточки использованы  и   крайние половинки последней и первой карточки пустые. Данная игра позволяет усвоить таблицу производных элементарных функций. Тема : «Применение производной в различных областях науки». ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС Действительно ли это так? Определение производной функции Связь производной с биохимией Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, тогда У - функция степени реакции выражается формулой y = x²(a - x), где а – биомасса. При каком значении X реакция максимальна? Решение: 0< x < а. Значит y′ (x)=2ax-3x² . Тогда Это тот уровень дозы, который даёт максимальную реакцию. Применение производной в физике

Если тело движется прямолинейно и его координата изменяется по закону S(t), то скорость его движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость

Производная от скорости по времени есть ускорение:

Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной Таким образом, ускорение движения в момент времени t равно

т.е. равно производной от производной

Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Итак,

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. =q’(t) Задача Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону q=sin*(2t-10) Найти силу тока в момент времени t=5 cек. Решение: Найдём производную q (q)`= cos(2t-10)2= 2cos(2t-10) Согласно условиям задачи, t равно 5 секундам , откуда следует: (q)`= 2cos(2*5 – 10) = 2 cos 0 = 2 (А) Ответ: I = 2 (А). Задача Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передаче приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017х2-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f '(х)=0,0034х-0,18. Тогда f'(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л. Задача Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²? Решение: v(t) = s’(t) = 20 – 2t Вычислим скорость авто, которое оно приобретёт через 7 секунд: v(7) = 20- 14 = 6 (м/с) 6 м/с = 21,6 км/ч. Ответ: Да , с разрешаемой.

ПРОИЗВОДНАЯ

В БИОЛОГИИ

Понятие на языке биологии	Обозначение	Понятие на языке математики
Численность в момент времени t	N = N (t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2 – t1	Приращение аргумента
Изменение численности популяции	∆N = N(t2) – N(t1)	Приращение функции
Скорость изменения численности популяции	∆N/∆t	Отношение приращения функции к приращению аргумента
Относительная скорость роста в данный момент t	Lim ∆N/∆t t 0	Производная

v(t) = N′ (t)

Рассчитайте на основании имеющихся данных, как будет меняться плотность популяции синиц через год и 2 года, если плотность синиц составляет 260 особей/га. За период размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 3 птенца.

Задача

В популяции равное число самцов и самок. Смертность синиц постоянна, в среднем за год погибает 27особей. Найти скорость роста численности популяции в год.

Вспомогательные формулы и определения для решения задачи Популяция– это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Эффективная численность популяции – это совокупность особей, которые участвуют в воспроизведении потомства.(Ne) Плотность популяции – это численность популяции на единицу площади. Формула Ферсхюльца: N1 = (Ne - Ксмерт)( Крожд + N0 ) Скорость численности популяции : v(t)=N’(t) Решение: По условию плотность популяции N0= 260 особей/га. В популяции равное число самцов и самок, а значит эффективная численность популяции равна 100. Решение: По условию плотность популяции N0= 260 особей/га. В популяции равное число самцов и самок, а значит эффективная численность популяции равна 100. Nе= 100% , тогда Nе= 1 Коэффициент смертности Ксмерт = 27% = 0,27 За год 130 пар дает 390 птенцов, т.е. (260/2)*3 =390 Формула N1 = (Nе- Ксмерт )( Крожд+ N0 ) = = (1-0.27)(390+260)= 474 особей всего за 1-ый год N1

Относительный прирост численности популяции ∆N= 474/260= 1,82 раза

Тогда численность популяции будет определяться функцией : N= 260* 1,82t где t=1,2,….

Найдем тогда скорость роста численности популяции:

  v(t)= N’(t) = (260*1.82t)’ = 260* (1.82t)’ =

=260*1.82t * ln 1.82 (особей/ год)

  N(1) = 260*1.821= 260*1.82= 474 особи

N(2)= 260*1.822= 260*3.3124= 861 особь.

Ответ: 260*1.82t * ln 1.82 особей/ год

Производная в химии.

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях

научно-производственной деятельности .

Как используют производную в химии?

Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.

Скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или

производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математике концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

Определение

Если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной: Если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

V (t) = p ‘(t)

Формула производной в химии

Математическая модель производной в химии

Понятие на языке химии	Обозначение	Понятие на языке математики
Количество в-ва в момент времени t	p = p(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2– t1	Приращение аргумента
Изменение количества в-ва	∆p= p(t2) – p(t1)	Приращение функции
Средняя скорость химической реакции	∆p/∆t	Отношение приращения функции к приращению аргумента

V (t) = p ‘(t)

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Пример задачи по химии:

р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль) р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль) 1. Найдем производную функции: Р’(t) = t +3 2. Подставим значение t = 3 сек: P’(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек ) Ответ: 6 моль/сек

Решение:

Задача о газовой смеси Задача о газовой смеси Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (O2). Требуется найти концентрацию O2 кислорода, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью. Решение. В условиях практической необратимости скорость реакции 2NO + O2 = 2NO2 выражается формулой v = kx2y , где x – концентрация NO в любой момент времени, y – концентрация O2 , k – константа скорости реакции, не зависит от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры. Концентрацию газов будем выражать в процентах. В этом случае х + у=100. у = 100 - х , т.к. v = kx2y, то v = kx2(100-х) = k(100x2 - x3)= v (x) при x[0; 100] x=0 или 200-3x=0 -3x=-200 x= -200: (-3) x= 66.67 % [0; 100] v ’ (10) > 0, v ’ (100) < 0. Следовательно скорость наибольшая , когда х ≈ 66,67%, и у =100-x= 33,33%. Ответ: m(NO)≈ 66,67% и m(O2) ≈ 33,33%. Понятие производной очень важно в химии при определении скорости течения реакции. Понятие производной очень важно в химии при определении скорости течения реакции.

Заключение

Экономический смысл производной. Математическая модель производной в экономике

Понятие на языке экономики	Обозначение	Понятие на языке математики
Количество произведенной продукции в момент времени t	v = v(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2– t1	Приращение аргумента
Изменение количества произведенной продукции	∆v= v(t2) – v(t1)	Приращение функции
Средняя производительность труда	∆v/∆t	Отношение приращения функции к приращению аргумента

Производительность труда P(t) = v‘(t)

Объем продукции цеха в течение рабочего дня представляет функцию – рабочее время в часах. Вычислить максимальную производительность труда в течение рабочего дня.

Вопрос: почему после третьего часа работы мы наблюдаем спад производительности труда?

Ответ: упадок сил, плохо проветрено помещение, возможно бригада рабочих использует ручной труд.

Вывод: Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом. Вывод: Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом. ИНСТРУКЦИЯ К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ Группа «Биологи-исследователи»   Цель: познакомиться с особенностями исследования численности популяции, его спада или роста, и выявления причин того или иного процесса; для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.  Ход работы:  Задание №1.  В среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность (p) популяции возрастает по закону p(t)= 1000 + , где t выражается в часах. Найти максимальный размер этой популяции и проанализировать результат.  Задание №2. Рассчитайте на основании имеющихся данных, как будет меняться плотность популяции мушек дрозофил через год и 2 года, если плотность популяции составляет 256000 особей/га. За период размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 22 особи. В популяции равное число самцов и самок. Смертность дрозофил постоянна, в среднем за год погибает 36% особей. Найти скорость роста численности популяции в год. Полученные данные проанализировать. Группа «Физики-исследователи» Группа «Физики-исследователи» Цель: познакомиться со cвязью производной функции в физике, определить насколько это важно для задач практического характера; для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы. Ход работы: Задание №1.  Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону q=sin3 (2t-10). Найти силу тока в момент t=50 сек.   Задание №2.   Тело массой m0 движется прямолинейно по закону s(t)= αt2 +βt+ γ, где α, β, γ – постоянные. Доказать, что сила, действующая на тело, постоянна .       Группа «Химики-исследователи» Группа «Химики-исследователи» Цель: познакомиться со связью производной функции с химией; для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.   Ход работы: Задание №1. Смесь состоит из серы(S) и кислорода(O2). Требуется найти концентрацию кислорода(O2), при которой сера(S) реагирует с наибольшей скоростью.   Задание №2. При какой концентрации азота(N2) и водорода(H2) реакция будет достигать наивысшей скорости, если в результате их взаимодействия образуется аммиак(NH3).   Группа «Экономисты-исследователи» Группа «Экономисты-исследователи» Цель: познакомиться с особенностями исследования производственной функции , её спада или роста, и выявления причин того или иного процесса; для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.  Ход работы: Задача №1 Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не может превышать 90 тонн в день. Определить: 1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими ( наименьшими); 2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода? Функция суммарных затрат имеет вид: K(x)= - x3 + 98x2 + 200x Задача №2 Задача №2 Пусть функция затрат при производстве апатитового концентрата имеет вид: К(Х)= Определить предельные издержки производства при увеличении объёма выпуска на x=2 единицы и на x=10 единиц. Вопрос: выгодно ли данному предприятию наращивать производство, если уровень затрат не изменится? Домашнее задание. Домашнее задание. 1. Решить самостоятельно задачи. а) Смесь состоит из углерода (С) и алюминия (Al). Требуется найти концентрацию углерода (С), при которой содержащаяся в смеси карбида алюминия реагирует с наибольшей скоростью. б) Первоначальная численность популяции состоит из 3000 особей. Найти максимальный размер этой популяции, если ее численность р(t) возрастает по закону , где t выражается в часах. 2. Шкиль Н. И. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровень). 10-11 кл.- К.: Зодиак-ЭКО, 2014. §15, п. 15.1-15.3