Презентация "Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств"

АВТОР РАБОТЫ: УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ИБРАГИМОВ Р.Ф.

Глава 1.Решение показательных неравенств.
Рассмотрим неравенство
и неравенство, ему равносильное:
Для его решения исследуем
знак разности
Итак, выясним, что следует из того, что
Если a > 1, то f( x ) > g( x ), а это значит, что ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.
2) Если 0 < a < 1, то f( x ) < g( x ), и опять ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.
Верно и обратное. Если то при имеем то есть
а при получаем то есть
Таким образом, мы доказали, что:
Знак разности совпадает со знаком выражения
А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

Глава 2.Решение логарифмических неравенств
Рассмотрим теперь неравенство и найдём
соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства:
f(x) > 0.
Если a>1, то тогда и только тогда, когда f(x) > 1 в ОДЗ
( f(x) < 1), то есть
Если 0<a<1, то тогда и только тогда, когда f(x) < 1 в ОДЗ ( f(x) > 1), то есть опять
Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f(x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f(x) < 1 в ОДЗ ( f(x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности:
Знак совпадает со знаком выражения в ОДЗ (f(x) > 0).
Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а ≠ 1 неравенство:
Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот
же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.
Пример: Решить неравенство:

Рассмотрим случай,когда в основании логарифма есть переменная.
Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а = 1 неравенство
Следствие:
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.

Пример:
Решить неравенство:
Решение:
Записав условия существования каждого из выражений, заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства:
Пользуясь методом интервалов, получаем:
Ответ:

Рассмотрим еще один метод решения логарифмических неравенств,
с различными основаниями.
Суть метода приведение логарифмов к одинаковому основанию,большему 1 применение равносильного преобразования
Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов:
Теперь остается воспользоваться преобразованием. Итак,

Пример:
Решите неравенство:
Последняя система легко решается методом интервалов.
Ответ: (–2; –1];(1; 2).
Не вызывает сомнений, что в ряде случаев изложенный метод позволяет решать логарифмические неравенства, содержащие переменную в основаниях логарифмов, быстрее и эффективнее других методов.

Заключение
Рассмотренные методы решений неравенств способствуют быстрому и эффективному освоению математических знаний, формируют культуру математического мышления, развивают мотивацию к учебе.
Следовательно, «Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств» являются продуктивным походом в формировании математических знаний, умений и навыков.

Литература
1. Куланин Е.Д., Федин С.Н. «5000 конкурсных задач по математике» – М.: Аст, 1999 г.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. «Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс» – М.: Просвещение, 1991г.
3. Шестаков С.А. «Замени функцию». «Математика», № 8/2002.