Презентация "Нестандартные приемы решения квадратных уравнений" скачать бесплатно

Презентация "Нестандартные приемы решения квадратных уравнений"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

МКОУ – Савкинская СОШ Презентация по теме: «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений» Учителя математики первой квалификационной категории Штабрат Ольги Анатольевны

  • Нестандартные приёмы
  • решения
  • квадратных уравнений
  • х2+4х-5=0
  • у2+bу+са=0
  • 5х2+7х+2=0
  • (b+d)x-x2=bd

Актуальность темы исходит из особенности нашего времени – это потребность в предприимчивых, деловых, компетентных специалистах в той или иной сфере деятельности. Необходимо быть грамотным, чтобы нормально «функционировать в сложном и требовательном обществе». А быть грамотным в быстро меняющемся мире означает быть просто лучше образованным. Чем выше уровень образованности, тем выше профессиональная и социальная мобильность. Кроме того, анализ единого государственного экзамена показывает, что не менее 50% предлагаемых задач с параметрами так или иначе связано с нахождением корней квадратного трехчлена.

Тема «Квадратные уравнения» занимает в математике одно из центральных мест. Разнообразие задач относящихся к теме работы, очень велико. Они часто входят в состав решения более сложных задач математики и физики. Недаром среди математиков популярна такая фраза «Во многих задачах торчат уши квадратного уравнения». Вот эти «уши» и надо заметить, чтобы сообразить, как получить ответ.

Поэтому, проблема решения квадратных уравнений нестандартными методами, которые недостаточно освещены в общем курсе школьной математики и совершенно необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов, а также для успешных выступлений на математических олимпиадах, будет существовать.

Объект исследования - процесс обучения учащихся 8 класса . Предмет исследования – формирование умений и навыков учащихся 8 класса по решению квадратных уравнений нестандартными методами в процессе обучения их по данной теме.

Гипотеза – обучение, подготовка и сдача конкурсных экзаменов, выступление на математических олимпиадах будет проходить успешнее, если в процессе обучения научить школьников нестандартным приемам решения квадратных уравнений.

Практическая значимость: материал данной работы может использоваться как на уроках математики в 8-9 классах, так и на занятиях кружков. Он способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

  • расширить
  • и углубить представления о решение квадратных уравнений через применение нестандартных методов
  • ЦЕЛЬ РАБОТЫ -

  • Задачи:
  • Проанализировать методическую и специальную литературу по данной теме.
  • Научить учащихся решать квадратные уравнения более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности.

  • «Предмет математики настолько серьёзен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным».
  • Блез Паскаль
  • «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
  • С. Коваль

Приведённые квадратные уравнения можно решать устно по обратной теореме Виета:

  • Произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену с тем же знаком, а сумма корней-второму коэффициенту с противоноложным знаком.

Пример 1: а) х2-7х+10=0 ((5)+(2)) б) х2+10х+21=0 ((-3)+(-7)) Пример 2: а) х2-2х-24=0((6)+(-4) б) х2+3х-18=0((3)+(-6))

  • 5
  • 6
  • 1
  • 4
  • 7
  • 0
  • 9
  • 2
  • +
  • =
  • *
  • /
  • 5
  • 6
  • х
  • 0
  • 9
  • 2
  • +
  • 0
  • *
  • 5
  • +
  • *
  • 1
  • 4
  • 7
  • =
  • /
  • 0
  • *
  • +
  • *
  • *

Не каждое приведённое уравнение можно решать устно

  • Например, х2 + 3х +1 =0
  • х1,2 =
  • или х2 – 2х + 5 = 0
  • D = 4 – 20 = -16

Метод разложения на множители

  • Пример: 3х2 + 2х – 1 = 0
  • 3х2 + 3х – х – 1 = 0
  • 3х(х + 1) – (х + 1) = 0
  • (х + 1) (3х – 1) = 0
  • х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0
  • х = -1 или х =
  • ответ: -1;

  • Метод введения новой переменной
  • Пример: (5х + 3)2 = 3(5х + 3) – 2
  • Пусть 5х + 3 = t, тогда
  • t2 = 3t – 2
  • t2 - 3t + 2 = 0
  • D > 0, то t1 = 1 t 2 = 2
  • Если t = 1, то 5х + 3 = 1; х = -0,4
  • Если t = 2, то 5х + 3 = 2; х = -0,2
  • Ответ: -0,4; -0,2

  • Использование свойства коэффициентов квадратного уравнения
  • х2 + 4х – 5 = 0 х2 + 6х + 5 = 0
  • а = 1, b =4, c =-5 a = 1, b = 6, c = 5
  • a + b + c = 0 a + c = b
  • x1 = 1, x2 = -5 x1 = -1, x2 = -5
  • ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
  • Если а + b + c = 0, то х1 = 1; х2 =
  • Если а + с = b, то х1 = -1; х2 = -
  • Например, 5х2 + 7х + 2 = 0 х1 = -1; х2 = -
  • или 5х2 + 7х =0 х1 = -1; х2 =

Метод «переброски» старшего коэффициента

  • ах2 + bx + c = 0;
  • a2x2 + bax + ca = 0
  • Пусть ах = у, тогда
  • у2 + bу + са = 0
  • Так как ах1 = у1 , ах2 = у2 , то
  • х1 = , х2 =

Пример: 2х2 - 11 + 15 =0 22 · х2 - 2 · 11х + 30 =0 Пусть 2х = у , тогда у2 - 11у + 30=0 у1 = 5 , у2 = 6 Тогда 2х1 = 5 , 2х2 = 6; х1 = 2,5 , х2 = 3 Ответ: 2, 5 ; 3

  • Пример:
  • Х2 + 1,5х - 2,5 = 0
  • Х2 = -1,5х + 2,5
  • У = х2 и
  • У = -1,5 х+ 2,5
  • Ответ: -2,5 ;1
  • Графический способ решения
  • квадратных уравнений

  • Решение квадратных уравнений
  • с применением циркуля и линейки

Пример1: Х2 – 2х + 1 = 0 Ответ: 1 Пример2: Х2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5 ; 1 Пример3: Х2 – 4х + 5 = 0 Ответ: нет корней

  • История развития квадратных уравнений:
  • Квадратные уравнения в Багдаде(9 век)
  • Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
  • Квадратные уравнения в Индии.
  • Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в.
  • Квадратные уравнения в Древней Греции.
  • X2+bx+c=0

  • Квадратные уравнения в Багдаде(9 век):
  • Впервые квадратные уравнения появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из города Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путём, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод ал-Хорезми почти алгебраический.

  • Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:
  • Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
  • Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

  • Квадратные уравнения в Европе в 13 - 17 веках:
  • Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.
  • Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду ax2+bx+c=0, было сформулировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем .

  • Квадратные уравнения в Индии:
  • Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году.
  • В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
  • В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.»

Квадратные уравнения в Древней Греции:

  • Квадратные уравнения также решали и в Древней Греции. Среди математиков Древней Греции было принято выражать алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение истолковали как площадь прямоугольника, а произведение трёх чисел-как объём прямоугольного параллепипеда. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника. С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». Квадратные уравнения греки также решали геометрически. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант. Особое внимание уделял неопределённым уравнениям, теория которых называется
  • теперь «диофантовым анализом».

Знаменитый физик Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

  • Спасибо за внимание