Презентация "Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком" 11 класс

Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком.

• УМК А.Г. Мордкович
• (профильный уровень)

• Халфина Елена Анатольевна,
• учитель математики
• г. Нижневартовск, 2014

• 11 класс

Теорема 1:

• Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество
• p(x) s(x)q(x) + r(x) (1)

В формуле (1) многочлен р(х) называют делимым, s(x) – делителем, q(x) – частным (или неполным частным), r(x) – остатком. Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2. Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2.

• Здесь - делимое,
• x – 2 – делитель,
• 2х + 3 – частное (неполное частное),
• 3 – остаток.

Пример 2. Разделите многочлен на многочлен

Деление многочлена на двучлен х – а.

• Теорема 2: (теорема Безу)
• Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а).

Доказательство:

• Если р(х) – делимое, х – а – делитель (многочлен первой степени), q(х) – частное и r – остаток (число), то по формуле (1) получаем:
• р(х) = (х – а)q(х) + r. (2)
• Подставив в формулу (2) вместо х значение а , получим р(а) = (а – а)q(а) + r, т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать.

• Найдём, например, остаток от деления многочлена р(х) = на двучлен х – 2.
• По теореме Безу остаток равен р(2). Имеем: р(2) = = 3.

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.

• Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.
• Если р(а) = 0, то в формуле (2) r = 0 и она принимает вид р(х) = (х – а)q(х). Это значит, что многочлен р(х) делится на
• х – а.

Следствие из теоремы 2.

• Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен х – а.

Схема Горнера

• Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать специальный приём, который обычно называют схемой Горнера.
• Рассмотрим суть приёма для случая, когда делимое – многочлен четвёртой степени.

Пусть р(х) = .

• Пусть р(х) = .
• Разделив р(х) на х – а, получим
• р(х) = (х – а)q(х) + r, где q(х) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) =
• Итак,

Раскрыв скобки в правой части данного тождества, получим:

• Раскрыв скобки в правой части данного тождества, получим:

Отсюда имеем: b = k, c = m – ka,

• Отсюда имеем: b = k, c = m – ka,
• d = n – ma, e = s – na, f = r – sa.
• k = b,
• m = ka + c,
• n = ma + d,
• s = na + e,
• r = sa + f.

Эти соотношения удобно записать в виде таблицы:

	b	c	d	e	f
а	k=b	m=ka+c	n=ma+d	s=na+e	r=sa+f

Пример 3. Используя схему Горнера, разделить многочлен р(х) на двучлен:

• р(х) =
• на х + 2.