Презентация "Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком" 11 класс скачать бесплатно

Презентация "Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком" 11 класс


Подписи к слайдам:
Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком.

Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с остатком.

  • УМК А.Г. Мордкович
  • (профильный уровень)
  • Халфина Елена Анатольевна,
  • учитель математики
  • г. Нижневартовск, 2014
  • 11 класс

Теорема 1:

  • Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество
  • p(x) s(x)q(x) + r(x) (1)

В формуле (1) многочлен р(х) называют делимым, s(x) – делителем, q(x) – частным (или неполным частным), r(x) – остатком.

Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2.

Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2.

  • Здесь - делимое,
  • x – 2 – делитель,
  • 2х + 3 – частное (неполное частное),
  • 3 – остаток.

Пример 2. Разделите многочлен на многочлен

Деление многочлена на двучлен х – а.

  • Теорема 2: (теорема Безу)
  • Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а).

Доказательство:

  • Если р(х) – делимое, х – а – делитель (многочлен первой степени), q(х) – частное и r – остаток (число), то по формуле (1) получаем:
  • р(х) = (х – а)q(х) + r. (2)
  • Подставив в формулу (2) вместо х значение а , получим р(а) = (а – а)q(а) + r, т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать.

  • Найдём, например, остаток от деления многочлена р(х) = на двучлен х – 2.
  • По теореме Безу остаток равен р(2). Имеем: р(2) = = 3.

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.

  • Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.
  • Если р(а) = 0, то в формуле (2) r = 0 и она принимает вид р(х) = (х – а)q(х). Это значит, что многочлен р(х) делится на
  • х – а.

Следствие из теоремы 2.

  • Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен х – а.

Схема Горнера

  • Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать специальный приём, который обычно называют схемой Горнера.
  • Рассмотрим суть приёма для случая, когда делимое – многочлен четвёртой степени.

Пусть р(х) = .

  • Пусть р(х) = .
  • Разделив р(х) на х – а, получим
  • р(х) = (х – а)q(х) + r, где q(х) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) =
  • Итак,

Раскрыв скобки в правой части данного тождества, получим:

  • Раскрыв скобки в правой части данного тождества, получим:

Отсюда имеем: b = k, c = m – ka,

  • Отсюда имеем: b = k, c = m – ka,
  • d = n – ma, e = s – na, f = r – sa.
  • k = b,
  • m = ka + c,
  • n = ma + d,
  • s = na + e,
  • r = sa + f.

Эти соотношения удобно записать в виде таблицы:

  • b
  • c
  • d
  • e
  • f
  • а
  • k=b
  • m=ka+c
  • n=ma+d
  • s=na+e
  • r=sa+f

Пример 3. Используя схему Горнера, разделить многочлен р(х) на двучлен:

  • р(х) =
  • на х + 2.