Презентация "Функции, их графики. Практическое применение"

Функции, их графики. Практическое применение. I.Элементарные функции.

• У=kx+b У= logaX
• У=ax2+bx+c У= sin x
• У=Х3 У= соs x
• У= √х У= tg x
• K У= сtg x
• У= — Х
• У=ах

Для успешного построения эскиза графика сложной функции нужно хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

• Для успешного построения эскиза графика сложной функции нужно хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

У=kx+b, k>0

• Х

• У

• 0

• В

• В=0

• В≠0

• 0

• Х

• У

• 0

• В

• В≠0

• В=0

• 0

• У=kx+b, k<0

• Х

• У

• 0

• У=Х2

• Х

• 0

• У

• У=Х3

У=√х

• Х

• У

• 0

• Х

• У

• 0

• k У= — , k>0 Х

• Х

• У

• 0

• k У= — , k<0 Х

У=ах ,а>1

• У=ах ,0<а<1

• Х

• У

• 0

• 0

• 1

• У

• 1

• Х

• Х

• У

• 0

• 1

• Х

• У

• 0

• 1

• У=logaX ,а>1

• У=logaX ,0<а<1

У= sin x

• -1

• 1

• ¶ /2

• -¶ /2

• 0

• X

• У

• -1

• 1

• ¶ /2

• -¶ /2

• 0

• X

• У

• 0

• У=cos х

• -1

• 1

• ¶ /2

• -¶ /2

• 0

• X

• У

• -1

• 1

• ¶ /2

• -¶ /2

• 0

• X

• У

• X

• У= tg x

• У= сtg x

II. Общий способ построения графика функции У=f (g(x))

• Y=f (x)

• Y=g (x)

• Y= x

• x

• А

• B

• C

• D

• g (x)

• O

• X

• У

• O( x;0 ) A ( x ;g (x) ) B ( g (x) ;g (x) ) C ( g (x) ;f (g (x)) ) D ( x; f (g (x)) )

• Точка D лежит на графике функции У= f (g(x))

III.Графики функций:

• А)f2(x)
• Б)√f (x)
• В)loga(f(x))

А)f (x)=(2х2+4х+1)2

• Построим график функции f (x)=(2х2+4х+1)
• Если f (x)=-1 то f 2(x)=1
• Если f (x)=3 то f 2(x)=9
• Если f (x)=0 то f 2(x)=0
• Если -1≤f (x)<0, то
• 0< f 2(x) ≤1
• Если f (x)→+∞, то f2(x)→+∞

• -1

• у

• 0

• х

• 1

• 1

• У=(2х2+4х+1)2

• 3

• 9

Построим график функции у =f (x)

• f (x)=(log2X)2

• 1

• 1

• 0

• х

• У

• У=(log2X)2

• 2

• 2

• 4

• -1

• Построим график функции у =f (x)
• Если f (x)=1, то f2(x)=1
• Если f (x)=2, то f2(x)=4
• Если f (x)=-1, то f2(x)=1
• Если -1≤f (x)<0,
• то 0< f 2(x) ≤1
• При 0<f (х)<1
• f (x)> f2(x), значит график функции
• у = f2(x) будет лежать ниже графика функции у =f (x)

• 4

Б)

• 1

• 4

• Построим график функции f (x) = log2x
• Там где f (x)≤0 точек графика функции √(f (x)) не будет
• При f (x)=1 √(f (x))=0
• При f (x)=4 √(f (x))=2
• При х→+∞ √(f (x)) →+∞
• При 0<f (х)<1
• f (x) < √(f (x)) и значит график функции
• у = √ (f (x)) лежит выше графика функции у = f (x)

• 2

• x

• У

• 0

• 1

• √ log2x

f (x)= √ (х2-4)

• Построим график функции f (x)= х2-4
• Там где f (x)<0 точек графика функции √(f (x)) не будет
• Если f (x)=1 то √(f (x))= 1
• Если f (x)=4 то √(f (x))=2
• Если f (x)=9 то √(f (x))=3
• При х→+∞ √(f (x)) →+∞
• При х→-∞ √(f (x)) →+∞
• При 0<f (х)<1
• f (x) < √(f (x)) и значит график функции
• у = √ (f (x)) лежит выше графика функции
• у = f (x)

• х

• У

• 0

• 1

• 1

• 2

• -2

• 2

• 4

• -4

• 9

• 3

• f (x)= √ (х2-4)

В) У= log2(x2-4x+2)

• Построим график функции
• f (x)=x2-4x+2
• На промежутке, где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x)) не будет.
• При f (x)=2 log2 (f (x)) = 1
• При f (x)=1 log2 (f (x)) = 0
• При x>x0 f (x) возрастает, тогда log2 (f (x)) возрастает.
• При х<х1 f (x) убывает, тогда
• log2 (f (x)) убывает
• При 0<f (x)<1 log2 (f (x))<0
• При f (x)>1 log2 (f (x))>0

• x

• У

• 0

• -2

• 2

• У=log2(f(x))

• У=f (x)

• X0

• X1

• 1

• 2

f (x)=log2cosX

• Построим график функции
• f (x)=cosX
• На промежутке, где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x)) не будет
• Если f (x)=1 то log2 (f (x))=0
• Если f (x)→0 то log2 (f (x))→-∞

• -1

• 1

• ¶ /2

• -¶ /2

• 0

• X

• У

• f (x)=log2cosX

III. Инверсия

• Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) L , если:
• 1)эти точки лежат по одну сторону от оси L
• 2)отрезок, их соединяющий перпендикулярен оси L
• 3)произведение расстояний от этих точек до L равно 1.
• Преобразование плоскости , при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой ,называется инверсией.

Теоремы инверсии.

• Теорема 1
• График функции g (x)= 1/(f(x)) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОХ.
• Теорема 2
• График функции g (x)= f(1/x) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОУ.

У = 1/(lхl)

• Построим график функции f (x) =lXl
• График функции f (x) =1/(lхl) получается из графика функции У=lXl инверсией относительно оси ОХ
• А(-1;1) и В (1;1) являются неподвижными точками инверсии. Если f (x) =1 то У(х) =1.
• Чем дальше точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем ближе точки графика функции У = 1/(lхl)
• Чем ближе точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем дальше точки графика функции У = 1/(lхl)

• x

• у

• 0

• 1

• -1

• 1

• f (x)

• 1/(f (x))

• А

• В

У = √ ((2x+3)/(x+2))

• Построим график функции f (x)= √ (2-х)
• График функции
• g (x)= √ ((2-1/х)) получается из графика функции f (x) инверсией относительно оси ОУ
• График функции
• v (x)= √((2-1/(х+2)) получается из графика функции
• g (x) параллельным переносом вдоль оси ОХ на 2 единицы влево.
• v (x) – искомый график.

• Преобразуем выражение, задающее функцию. У= √((2-1/(х+2))

• х

• 1

• 2

• -1

• -2

• 1

• f (x)

• g (x)

• v (x)

• 2

• 0

• У

IV. Решения задач с помощью построения графиков функций. Найти все х удовлетворяющие неравенству. (log2(8-x))3≤3x-4

• Найти все х удовлетворяющие неравенству. (log2(8-x))3≤3x-4
• Построим графики функций f (x)= (log2(8-x))3 и g (x)=3x-4 в одной системе координат.

• 4

• 8

• х

• У

• 0

• 1

• 1

• g (x)

• f (x)

• Из графика видно, что решением данного неравенства является промежуток [4;+∞)

• Ответ. [4;+∞)

Найти решения неравенства 3√(х-2)+√(х+1)≥3

• Запишем данное неравенство в виде 3√(х-2) ≥ 3-√(х+1)
• Построим графики функций f (x)= 3√(х-2) и g (x) = 3-√(х+1)

• 3

• 3

• 1

• -1

• 1

• х

• У

• 0

• Из графика видно, что решением данного неравенства являются все х из промежутка [3;+∞)

• Ответ. [3;+∞)

• f (x)

• g (x)

Решите уравнение log3(3x-8)= 2-x

• Построим графики функций f (x)= log3(3x-8) и g (x)= 2-x

• х

• У

• 0

• 1

• 1

• 2

• Из графика видно что единственным корнем уравнения является х=2.

• Ответ.х=2

• f (x)

• g (x)

Найдите наибольшее целое решение неравенства log3(13-4x)>2

• 0

• x

• У

• 1

• 1

• 2

• Построим графики функций f (x)= log3(13-4x) и g (x)=2

• Из графика видно ,что решением неравенства является промежуток (-∞;а), где 0<а<1, поэтому наибольшим целым решением неравенства является х=0.

• Ответ.х=0

• f (x)

• g (x)

• а

Решить уравнение Log2x2=8-lxl

• Построим графики функций f (x) =Log2x2 и g (x)=8-lxl

• х

• У

• 0

• 1

• 1

• f (x) =Log2x2

• g (x)=8-lxl

• 4

• 4

• Из графика видно решением данного уравнения является х=4.

• Ответ.4

• 1

• 1

Решить уравнение = 1-5х+1

• 0

• 1

• 1

• -1

• У

• Х

• 5

• Построим графики функций f (x)= и g (x)= 1-5х+1

• f (x)

• g (x)

• Из графика видно решением данного уравнения является х=-1.

• Ответ. -1

Дано уравнение (а-1)х2-4(а-1)х+3а-4=0

• При каких значениях а :
• А)уравнение не имеет решения
• Б)уравнение имеет корни разных знаков
• В)уравнение имеет корень больший 6
• Г)уравнение имеет корень из отрезка [-1;2]

Преобразуем уравнение к виду а(х2-4х+3)=х2-4х+4

• А)Так как есть точки графика с любыми ординатами, кроме принадлежащих промежутку (0;1], то данное уравнение не имеет решений при всех а из промежутка (0;1] .
• Б) Найдём а(0)=4/3, а(6)=16/15, а(-1)=9/8.
• Из графика видно, что прямые а =const, параллельные оси ОХ, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков только при а из промежутка (1;4/3).
• В)Из графика видно, что уравнение имеет корень, больший 6, при а из промежутка (1; 16/15), Г)Из графика видно , что уравнение имеет корень из [-1;2] при а из промежутка (-∞;0]∪[9/8;+∞).

• Рассмотрим функцию а = (х2-4х+4)/(х2-4х+3), т.е а=1+1/(х2-4х+3) и построим её график.

• х

• -1

• -1

• -2

• 1

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

• 7

• а

• 1

• 2

• 3

• 0