Презентация "Функции, их графики. Практическое применение"


Подписи к слайдам:
У=Х

Функции, их графики. Практическое применение.

I.Элементарные функции.

  • У=kx+b У= logaX
  • У=ax2+bx+c У= sin x
  • У=Х3 У= соs x
  • У= √х У= tg x
  • K У= сtg x
  • У= — Х
  • У=ах

Для успешного построения эскиза графика сложной функции нужно хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

  • Для успешного построения эскиза графика сложной функции нужно хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

У=kx+b, k>0

  • Х
  • У
  • 0
  • В
  • В=0
  • В≠0
  • 0
  • Х
  • У
  • 0
  • В
  • В≠0
  • В=0
  • 0
  • У=kx+b, k<0
  • Х
  • У
  • 0
  • У=Х2
  • Х
  • 0
  • У
  • У=Х3

У=√х

  • Х
  • У
  • 0
  • Х
  • У
  • 0
  • k У= — , k>0 Х
  • Х
  • У
  • 0
  • k У= — , k<0 Х

У=ах ,а>1

  • У=ах ,0<а<1
  • Х
  • У
  • 0
  • 0
  • 1
  • У
  • 1
  • Х
  • Х
  • У
  • 0
  • 1
  • Х
  • У
  • 0
  • 1
  • У=logaX ,а>1
  • У=logaX ,0<а<1

У= sin x

  • -1
  • 1
  • ¶ /2
  • -¶ /2
  • 0
  • X
  • У
  • -1
  • 1
  • ¶ /2
  • -¶ /2
  • 0
  • X
  • У
  • 0
  • У=cos х
  • -1
  • 1
  • ¶ /2
  • -¶ /2
  • 0
  • X
  • У
  • -1
  • 1
  • ¶ /2
  • -¶ /2
  • 0
  • X
  • У
  • X
  • У= tg x
  • У= сtg x

II. Общий способ построения графика функции У=f (g(x))

  • Y=f (x)
  • Y=g (x)
  • Y= x
  • x
  • А
  • B
  • C
  • D
  • g (x)
  • O
  • X
  • У
  • O( x;0 ) A ( x ;g (x) ) B ( g (x) ;g (x) ) C ( g (x) ;f (g (x)) ) D ( x; f (g (x)) )
  • Точка D лежит на графике функции У= f (g(x))

III.Графики функций:

  • А)f2(x)
  • Б)√f (x)
  • В)loga(f(x))

А)f (x)=(2х2+4х+1)2

  • Построим график функции f (x)=(2х2+4х+1)
  • Если f (x)=-1 то f 2(x)=1
  • Если f (x)=3 то f 2(x)=9
  • Если f (x)=0 то f 2(x)=0
  • Если -1≤f (x)<0, то
  • 0< f 2(x) ≤1
  • Если f (x)→+∞, то f2(x)→+∞
  • -1
  • у
  • 0
  • х
  • 1
  • 1
  • У=(2х2+4х+1)2
  • 3
  • 9

Построим график функции у =f (x)

  • f (x)=(log2X)2
  • 1
  • 1
  • 0
  • х
  • У
  • У=(log2X)2
  • 2
  • 2
  • 4
  • -1
  • Построим график функции у =f (x)
  • Если f (x)=1, то f2(x)=1
  • Если f (x)=2, то f2(x)=4
  • Если f (x)=-1, то f2(x)=1
  • Если -1≤f (x)<0,
  • то 0< f 2(x) ≤1
  • При 0<f (х)<1
  • f (x)> f2(x), значит график функции
  • у = f2(x) будет лежать ниже графика функции у =f (x)
  • 4

Б)

  • 1
  • 4
  • Построим график функции f (x) = log2x
  • Там где f (x)≤0 точек графика функции √(f (x)) не будет
  • При f (x)=1 √(f (x))=0
  • При f (x)=4 √(f (x))=2
  • При х→+∞ √(f (x)) →+∞
  • При 0<f (х)<1
  • f (x) < √(f (x)) и значит график функции
  • у = √ (f (x)) лежит выше графика функции у = f (x)
  • 2
  • x
  • У
  • 0
  • 1
  • √ log2x

f (x)= (х2-4)

  • Построим график функции f (x)= х2-4
  • Там где f (x)<0 точек графика функции √(f (x)) не будет
  • Если f (x)=1 то √(f (x))= 1
  • Если f (x)=4 то √(f (x))=2
  • Если f (x)=9 то √(f (x))=3
  • При х→+∞ √(f (x)) →+∞
  • При х→-∞ √(f (x)) →+∞
  • При 0<f (х)<1
  • f (x) < √(f (x)) и значит график функции
  • у = √ (f (x)) лежит выше графика функции
  • у = f (x)
  • х
  • У
  • 0
  • 1
  • 1
  • 2
  • -2
  • 2
  • 4
  • -4
  • 9
  • 3
  • f (x)= √ (х2-4)

В) У= log2(x2-4x+2)

  • Построим график функции
  • f (x)=x2-4x+2
  • На промежутке, где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x)) не будет.
  • При f (x)=2 log2 (f (x)) = 1
  • При f (x)=1 log2 (f (x)) = 0
  • При x>x0 f (x) возрастает, тогда log2 (f (x)) возрастает.
  • При х<х1 f (x) убывает, тогда
  • log2 (f (x)) убывает
  • При 0<f (x)<1 log2 (f (x))<0
  • При f (x)>1 log2 (f (x))>0
  • x
  • У
  • 0
  • -2
  • 2
  • У=log2(f(x))
  • У=f (x)
  • X0
  • X1
  • 1
  • 2

f (x)=log2cosX

  • Построим график функции
  • f (x)=cosX
  • На промежутке, где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x)) не будет
  • Если f (x)=1 то log2 (f (x))=0
  • Если f (x)→0 то log2 (f (x))→-∞
  • -1
  • 1
  • ¶ /2
  • -¶ /2
  • 0
  • X
  • У
  • f (x)=log2cosX

III. Инверсия

  • Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) L , если:
  • 1)эти точки лежат по одну сторону от оси L
  • 2)отрезок, их соединяющий перпендикулярен оси L
  • 3)произведение расстояний от этих точек до L равно 1.
  • Преобразование плоскости , при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой ,называется инверсией.

Теоремы инверсии.

  • Теорема 1
  • График функции g (x)= 1/(f(x)) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОХ.
  • Теорема 2
  • График функции g (x)= f(1/x) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОУ.

У = 1/(lхl)

  • Построим график функции f (x) =lXl
  • График функции f (x) =1/(lхl) получается из графика функции У=lXl инверсией относительно оси ОХ
  • А(-1;1) и В (1;1) являются неподвижными точками инверсии. Если f (x) =1 то У(х) =1.
  • Чем дальше точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем ближе точки графика функции У = 1/(lхl)
  • Чем ближе точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем дальше точки графика функции У = 1/(lхl)
  • x
  • у
  • 0
  • 1
  • -1
  • 1
  • f (x)
  • 1/(f (x))
  • А
  • В

У = √ ((2x+3)/(x+2))

  • Построим график функции f (x)= √ (2-х)
  • График функции
  • g (x)= √ ((2-1/х)) получается из графика функции f (x) инверсией относительно оси ОУ
  • График функции
  • v (x)= √((2-1/(х+2)) получается из графика функции
  • g (x) параллельным переносом вдоль оси ОХ на 2 единицы влево.
  • v (x) – искомый график.
  • Преобразуем выражение, задающее функцию. У= √((2-1/(х+2))
  • х
  • 1
  • 2
  • -1
  • -2
  • 1
  • f (x)
  • g (x)
  • v (x)
  • 2
  • 0
  • У

IV. Решения задач с помощью построения графиков функций.

Найти все х удовлетворяющие неравенству. (log2(8-x))3≤3x-4

  • Найти все х удовлетворяющие неравенству. (log2(8-x))3≤3x-4
  • Построим графики функций f (x)= (log2(8-x))3 и g (x)=3x-4 в одной системе координат.
  • 4
  • 8
  • х
  • У
  • 0
  • 1
  • 1
  • g (x)
  • f (x)
  • Из графика видно, что решением данного неравенства является промежуток [4;+∞)
  • Ответ. [4;+∞)

Найти решения неравенства 3√(х-2)+√(х+1)≥3

  • Запишем данное неравенство в виде 3√(х-2) ≥ 3-√(х+1)
  • Построим графики функций f (x)= 3√(х-2) и g (x) = 3-√(х+1)
  • 3
  • 3
  • 1
  • -1
  • 1
  • х
  • У
  • 0
  • Из графика видно, что решением данного неравенства являются все х из промежутка [3;+∞)
  • Ответ. [3;+∞)
  • f (x)
  • g (x)

Решите уравнение log3(3x-8)= 2-x

  • Построим графики функций f (x)= log3(3x-8) и g (x)= 2-x
  • х
  • У
  • 0
  • 1
  • 1
  • 2
  • Из графика видно что единственным корнем уравнения является х=2.
  • Ответ.х=2
  • f (x)
  • g (x)

Найдите наибольшее целое решение неравенства log3(13-4x)>2

  • 0
  • x
  • У
  • 1
  • 1
  • 2
  • Построим графики функций f (x)= log3(13-4x) и g (x)=2
  • Из графика видно ,что решением неравенства является промежуток (-∞;а), где 0<а<1, поэтому наибольшим целым решением неравенства является х=0.
  • Ответ.х=0
  • f (x)
  • g (x)
  • а

Решить уравнение Log2x2=8-lxl

  • Построим графики функций f (x) =Log2x2 и g (x)=8-lxl
  • х
  • У
  • 0
  • 1
  • 1
  • f (x) =Log2x2
  • g (x)=8-lxl
  • 4
  • 4
  • Из графика видно решением данного уравнения является х=4.
  • Ответ.4
  • 1
  • 1

Решить уравнение = 1-5х+1

  • 0
  • 1
  • 1
  • -1
  • У
  • Х
  • 5
  • Построим графики функций f (x)= и g (x)= 1-5х+1
  • f (x)
  • g (x)
  • Из графика видно решением данного уравнения является х=-1.
  • Ответ. -1

Дано уравнение (а-1)х2-4(а-1)х+3а-4=0

  • При каких значениях а :
  • А)уравнение не имеет решения
  • Б)уравнение имеет корни разных знаков
  • В)уравнение имеет корень больший 6
  • Г)уравнение имеет корень из отрезка [-1;2]

Преобразуем уравнение к виду а(х2-4х+3)=х2-4х+4

  • А)Так как есть точки графика с любыми ординатами, кроме принадлежащих промежутку (0;1], то данное уравнение не имеет решений при всех а из промежутка (0;1] .
  • Б) Найдём а(0)=4/3, а(6)=16/15, а(-1)=9/8.
  • Из графика видно, что прямые а =const, параллельные оси ОХ, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков только при а из промежутка (1;4/3).
  • В)Из графика видно, что уравнение имеет корень, больший 6, при а из промежутка (1; 16/15), Г)Из графика видно , что уравнение имеет корень из [-1;2] при а из промежутка (-∞;0]∪[9/8;+∞).
  • Рассмотрим функцию а = (х2-4х+4)/(х2-4х+3), т.е а=1+1/(х2-4х+3) и построим её график.
  • х
  • -1
  • -1
  • -2
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • а
  • 1
  • 2
  • 3
  • 0