Конспект урока "Сравнение арифметической и геометрической прогрессий"


Тема урока: "Сравнение арифметической и геометрической прогрессий"
Цели урока:
1. Образовательные ввести определения арифметической, геометрической
прогрессий; вывести формулы n-го члена, суммы n первых членов, суммы
бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; познакомить учащихся с
характеристическим свойством, которым обладают члены прогрессий;
выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих
данные прогрессии.
2. Развивающие продолжить дальнейшую работу по выработке умения
сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения
наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии;
сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель
некоторой реальной ситуации.
3. Воспитательные содействовать воспитанию интереса к математике и ее
приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать
свои взгляды.
Оборудование: компьютер, рисунки к задачам, сравнительная таблица
"Виды последовательности", портреты Гаусса, Л.Н. Толстого.
Тип урока: лекция по введению и самостоятельному приобретению новых
знаний.
Метод обучения: учебно-познавательная работа учащихся по
самостоятельному приобретению новых знаний; работа по обобщающей
схеме, самопроверка, взаимопроверка.
Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого
мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от
самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными
от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные
признаки, а это значит – понять предмет". (К.Д. Ушинский)
Ход урока:
1. Подготовительная работа.
Формулирование определения умения сравнивать:
"Сравнение – сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и
черт различия между ними. Суждения, выражающие результат сравнения,
служат цели раскрытия содержания понятий сравниваемых объектов".
(Философский словарь)
1. Выделение объектов исследования.
Сравнить между собой последовательности:
1) 2, 7, 9, 12, …;
2) 3, 5, 7, 9, 11, …;
3) 4, 8, 16, 32, …;
4) –17, 25, 36, 2, 18, …;
5) 1, 2, 4, 8, 16, …;
6) 10, 9, 8, 7, 6, …;
9) 3, 3, 3, …;
11) 1, 3, 9, –27, 81, …;
12) 1, 1, –1, … .
а) Опишите закономерность, с помощью которой вы это сделали?
б) Объедините последовательности в группы.
Вывод: Сравнивая между собой эти последовательности, учащиеся
обнаружат среди них такие, которые образованы при помощи одного и того
же общего для всех свойства, а затем установят способ их конструирования.
2. Обнаружение свойств изучаемых объектов, которые являются
основанием для определения.
На доску слева проецируется задача, приводящая к арифметической, а справа
к геометрической прогрессии.
Задача
Рабочий выложил плитку следующим
образом: в первом ряду - 3 плитки, во
втором - 5 плиток и т.д., увеличивая
каждый ряд на 2 плитки. Сколько
плиток понадобиться для седьмого
ряда?
Рис. 1
Задача
В благоприятных условиях
бактерии размножаются так, что на
протяжении одной минуты одна из
них делится на две. Указать
количество бактерий, рожденных
одной бактерией за 7 минут.
Рис. 2
Вопросы к задачам:
1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2. Указать последующий, предыдущий члены. Чем они отличаются?
3. Найти разность между предыдущим и последующими членами в первой
задаче и частное от деления последующего члена на предыдущий во второй
задаче.
4. Дать определение арифметической (геометрической) прогрессии.
2. Учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному
приобретению новых знаний.
"Прогрессия" – латинское слово, означающее "движение вперед", было
введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком
смысле, как бесконечная числовая последовательность. Предлагается
разделить страницу тетради на две части и слева написать "Арифметическая
прогрессия", а справа "Геометрическая прогрессия". Всю работу школьники
проделывают на доске и в тетрадях одновременно для обеих прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Определение
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2; …
Арифметической прогрессией
называется последовательность,
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
2 = 1·2; 4 = 2 · 2; 8 = 4 · 2; ...
Геометрической прогрессией
называется последовательность