Презентация "Элементы комбинаторики - размещения"


Подписи к слайдам:
PowerPoint Presentation

Элементы комбинаторики -

  • РАЗМЕЩЕНИЯ

Задача 1. Имеется 4 шара и 4 пустых ячейки в коробке. Сколько вариантов расположения шаров можно получить?

  • Задача 2. Имеется 4 шара и 3 пустых
  • ячейки в коробке.
  • Какие варианты расположения можно
  • получить?
  • СРАВНИТЕ 2 ЗАДАЧИ:

Решение 1 задачи:

  • Порядок расположения шаров задаётся
  • условием 1,2,3,4. Это элементы
  • множества, тогда число перестановок
  • P4 = n! = 4! = 24. – (искомое количество способов)

Отличие от предыдущей задачи: количество шаров превосходит количество ячеек. Т.е. невозможно применить теорему о количестве перестановок.

  • Размещением из n элементов по k (k ≤ n)
  • называется любое множество, состоящее
  • из любых k элементов, взятых в определённом
  • порядке из данных n элементов.
  • Обозначение
  • читают: «A из n по

Рассмотрим 1 из способов решения задачи 2.

  • Присвоим шарам обозначения a, b, c, d.
  • d
  • b
  • c
  • a
  • b
  • c
  • a
  • b
  • d
  • a
  • c
  • b
  • a
  • c
  • d
  • a
  • d
  • b
  • a
  • d
  • c
  • b
  • c
  • a
  • b
  • c
  • d
  • b
  • a
  • d
  • b
  • d
  • a
  • b
  • d
  • c
  • c
  • a
  • b
  • b
  • a
  • c
  • c
  • a
  • d
  • c
  • b
  • d
  • c
  • b
  • a
  • c
  • d
  • b
  • c
  • d
  • a
  • d
  • a
  • b
  • d
  • a
  • c
  • d
  • b
  • a
  • d
  • c
  • b
  • d
  • c
  • a

  • *
  • a
  • b
  • c
  • b
  • c
  • d
  • a
  • c
  • d
  • a
  • b
  • d
  • d
  • a
  • b
  • c
  • Решим эту же задачу, используя дерево вариантов.
  • Закончите построение дерева.

Заметим, что для каждого выбранного первого элемента можно тремя способами выбрать из трёх оставшихся элементов второй элемент.

  • Далее, для каждых первых двух
  • элементов можно двумя способами выбрать из
  • оставшихся элементов третий элемент.

Решение 2 задачи:

  • Размещение 4 элементов по 3.
  • Количество множителей равно 3

Аналогично рассуждая, подсчитаем

  • Аналогично рассуждая, подсчитаем
  • сколько можно составить размещений из n
  • элементов по k , где k≤n.
  • 1 элемент
  • 2 элемент
  • 3 элемент
  • 4 элемент
  • K-ый элемент
  • n способов
  • n-1 способов
  • n-2 способов
  • n-3 способов
  • n – (k-1) способов
  • из n элементов множества
  • из n-2 элементов множества
  • из n-3 элементов множества
  • из n-(k-1) элементов множества
  • из n-1 элементов множества

Правило вычисления размещений из n элементов по k элементов

Пример 1:

  • В классе 27 учеников. К доске нужно
  • вызвать двоих. Сколькими способами это можно
  • сделать, если первый ученик должен решить
  • задачу по геометрии, другой – по алгебре?
  • Порядок выбора двух элементов множества из
  • 27 элементов важен, поэтому:
  • В данном случае k=2, потому количество множителей
  • в формуле равно 2,значит:

Пример 2:

  • В классе 27 учеников, из которых нужно
  • выбрать троих. Первый ученик должен решить
  • задачу, второй – сходить за мелом, третий –
  • дежурить в столовую. Сколькими способами это
  • можно сделать?
  • Порядок во множестве из 27 элементов важен,
  • поэтому:
  • В данном случае k=3, потому количество множителей
  • в формуле равно 3,значит:

Пример 3:

  • Из 30 учащихся класса требуется выбрать старосту класса и заместителя старосты класса. Сколькими способами это можно сделать?
  • В данном случае k=2, потому количество множителей
  • в формуле равно 2,значит:

  • Вопрос дня: КАК различить: задача на перестановки или
  • размещения?
  • Количество рассматриваемых элементов множества
  • совпадает с исходным
  • количеством элементом
  • меньше исходного
  • количества элементов