Презентация "Элементы комбинаторики - перестановки"


Подписи к слайдам:
PowerPoint Presentation

Элементы комбинаторики -

  • перестановки

От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

  • *
  • 1
  • 2
  • 3
  • 2
  • 3
  • 4
  • 1
  • 3
  • 4
  • 1
  • 2
  • 4
  • 4
  • 1
  • 2
  • 3
  • Всего 4∙3=12

12 – число всех возможных исходов проведения n испытаний

  • *
  • 1
  • 2
  • 3
  • 2
  • 3
  • 4
  • 1
  • 3
  • 4
  • 1
  • 2
  • 4
  • 4
  • 1
  • 2
  • 3
  • Подъём на гору - 4 варианта
  • Спуск с горы - 3 варианта

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

  • 0, 2, 4, 6 и 8
  • Первая цифра
  • Вторая цифра
  • Третья цифра
  • 4
  • 5
  • 5
  • Всего чисел
  • 100
  • =

Итак, применить правило умножения означает:

  • Определить количество уровней возможных испытаний (в решении указать номер уровня и описание испытания)
  • Определить количество испытаний на каждом выявленном уровне
  • Применить правило умножения
  • ВСЕГО (Записать произведение количества испытаний на каждом выявленном уровне)

Задача.

  • Задача.
  • В семье 6 человек., а за столом в столовой 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться а эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
  • - 6 вариантов выбора стула
  • - 5 вариантов выбора стула (1 уже занят)
  • - 4 варианта выбора стула (2 уже занято)
  • - 3 варианта выбора стула (3 уже заняты)
  • - 2 варианта выбора стула (4 уже занято)
  • - 1 вариант выбора стула (5 уже заняты)

Правило умножения (число всех возможных исходов независимого проведения n испытаний равно произведению количеств исходов этих испытаний)

  • Различных способов рассаживания
  • 6∙5∙4∙3∙2∙1=720

Одна из отличительных особенностей математики как науки – стремление к совершенству

  • Перестановки внутри конечного множества

Применяя правило умножения достаточно часто в определённых задачах встречаются такие произведения:

  • Применяя правило умножения достаточно часто в определённых задачах встречаются такие произведения:
  • 1∙2
  • 1∙2∙3
  • 1∙2∙3∙4
  • 1∙2∙3∙4∙5
  • 1∙2∙3∙4∙5∙6
  • 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7
  • ВЫПОЛНИТЕ УМНОЖЕНИЕ

1∙2 = 2

  • 1∙2 = 2
  • 1∙2∙3 = 6
  • 1∙2∙3∙4 = 24
  • 1∙2∙3∙4∙5 = 120
  • 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720
  • 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n!

  • Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n!
  • НАЗЫВАЮТ «эн факториал»
  • Одно из значений слова «factor»-«множитель».
  • Так что «эн факториал» примерно переводится как «состоящий из n множителей»

Перестановкой конечного множества элементов называется сопоставление каждого элемента этого множества по некоторому правилу, при котором различные элементы переходят в различные.

Например, все перестановки множества из трёх элементов:

  • a
  • c
  • a
  • b
  • c
  • b
  • a
  • a
  • c
  • b
  • c
  • b
  • a
  • a
  • b
  • c
  • c
  • b
  • a
  • c
  • b
  • a
  • c
  • b
  • a
  • b
  • c
  • a
  • c
  • b
  • a
  • b
  • a
  • c
  • c
  • b
  • Или 3∙2=6
  • Или
  • Перестановка во множестве 3 элементов
  • Р3=n!=3!=1∙2∙3=6

Теорема «О количестве перестановок»

  • Число всех перестановок
  • n-элементного множества равно n!
  • Pn = n!
  • Число перестановок множества из n элементов обозначают Рn

Пример 1:

  • Три медведя по одному выбегают из дома, догоняя девочку. Сколькими способами они могут выбежать?
  • Порядок выбегания из дома задаётся
  • условием 1,2,3. Это элементы
  • множества, тогда число перестановок
  • P3 = n! = 3! = 6. – (искомое количество способов)

Пример 2:

  • Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?
  • Порядок выбегания на все четыре
  • стороны задаётся направлением С,Ю,З,и В
  • задаётся условием 1,2,3,4. Это элементы
  • множества, тогда число перестановок
  • P4 = n! = 4! = 24. – (искомое количество способов)

Пример 3:

  • Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?
  • Девять футболистов (все, кроме капитана и
  • вратаря) надо расставить на девять мест, с
  • третьего по одиннадцатое. Порядок
  • разбегания из дома задаётся условием 1-9.
  • Это элементы множества, тогда число
  • перестановок
  • P9 = n! = 9! = 362 880. – (искомое количество способов)

  • перебор
  • перестановка
  • Вопрос дня:
  • КАК РАЗЛИЧАТЬ
  • ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ?