Презентация "Точки экстремума"


Подписи к слайдам:
Точки экстремума

Точки экстремума

Определение

  • Точку x = x0 называют точкой минимума функции y = f (x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки x = x0) выполняется равенство f (x) > f (x0).
  • Значение функции в точке минимума обычно обозначают ymin.

Определение

  • Точку x = x0 называют точкой максимума функции y = f (x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки x = x0, выполняется равенство f (x) < f (x0).
  • Значение функции в точке максимума обычно обозначают ymax.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином – точки экстремума.

  • Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином – точки экстремума.

Достаточные условия экстремума

  • Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x0. Тогда:
  • если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f’ (x) < 0, а при x > x0 – неравенство f’ (x) > 0, то x = x0точка минимума функции y = f (x);

если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f’ (x) > 0, а при x > x0 – неравенство f’ (x) < 0, то x = x0точка максимума функции y = f (x);

  • если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f’ (x) > 0, а при x > x0 – неравенство f’ (x) < 0, то x = x0точка максимума функции y = f (x);
  • если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Задания.

Найдите точку максимума функции:

  • Найдите точку максимума функции:
  • а)
  • б)
  • Найдите точку минимума функции