Конспект урока "Исследование функций с помощью производной. Выпуклость и точки перегиба" 10 класс


Конспект урока.
Учитель: Охонько Елена Владимировна,
учитель математики МБОУ СОШ №2 г. Волжского Волгоградской области.
Предмет: алгебра и начала анализа. 10 класс.
Тема урока: «Исследование функций с помощью производной. Выпуклость и точки перегиба».
Цель урока: повторение и систематизация изученного материала; применение знаний при решении задач разного
содержания и уровня сложности, контроль знаний обучающихся, изучение нового материала.
Этапы урока
Цели, задачи, результативность этапа
Содержание этапа
1.Орг. момент.
Цели и задачи:
постановка цели урока и
мотивация учебной деятельности
обучающихся; ознакомление с
планом работы на уроке.
Взаимное приветствие.
Вступительное слово учителя, ознакомление ребят с планом урока,
совместная формулировка целей урока ( продолжить исследование свойств
функций и их графиков, продемонстрировать уровень усвоения
предыдущих тем). Демонстрация соответствующих слайдов.
(Слайд №1-2 из презентации к уроку).
2. Актуализация
опорных знаний
обучающихся.
Цели и задачи:
обеспечить повторение
обучающимися изученного
теоретического материала,
наиболее общих и существенных
понятий, выводов и алгоритмов;
способствовать развитию
навыков устной речи;
ознакомить с историческими
Повторение теоретических аспектов темы.
Двое ребят готовятся у доски к устным ответам по карточкам, содержащим
вопросы теоретического характера:
Карточка №1:Правила дифференцирования, геометрический смысл
производной. Уравнение касательной к графику функции. Параллельность
и перпендикулярность прямых.
Карточка №2. Применение производной к исследованию функций: на
монотонность, экстремумы. Приложение 1.
В это время один из обучающихся делает сообщение об истории развития
дифференциального исчисления, на основе подготовленной им электронной
презентации. Приложение 2.
После окончания исторической справки, класс заслушивает ребят,
справкой по теме.
готовившихся по теоретическим карточкам.
3. Практическая
работа.
Цели и задачи:
предоставить обучающимся
возможность использовать
приобретенные знания при
решении задач разного
содержания и уровня
сложности;
обучать методам научного
познания - анализу, сравнению,
обобщению и систематизации
учебного материала.
Применение только что прозвучавших теоретических фактов, отражающих
связь графика функции с ее производной, изображение в тетради эскиза
графика производной по предложенному графику функции. (Слайд 3 из
презентации к уроку).
Один из ребят выполняет работу на доске, затем демонстрирует свой
результат и аргументирует действия.
4.
Самостоятельная
работа.
Цели и задачи:
проверка знаний обучающихся.
Применение знаний в стандартных или
частично измененных ситуациях.
Формирование навыков работы в
заданном темпе.
Демонстрация значимости данной темы в
экзаменационной работе по типу ЕГЭ.
Развитие навыков работы с тестовыми
заданиями.
Обучать объективной оценке своих
возможностей и успехов.
Письменный тест . Состоит из 15 заданий в двух вариантах: прототипы
заданий части В из ЕГЭ по математике. Проверяемые элементы содержания
и виды деятельности: умение исследовать функцию с помощью
производной. Три задания повышенного уровня сложности, не
являющимися обязательными для выполнения ( для отдельных
обучающихся, с высокой скоростью работы и продвинутым уровнем
усвоения материала). Приложение3.
Задача обучающихся заключается в том, чтобы ответить на вопрос о
функции по предложенному графику производной функции. На работу
дается 10 минут. Во время выполнения теста изображение графика
производной находится на экране.
(Слайд №4 из презентации к уроку).
У: А теперь внимание на экран, выполняем проверку работ.
(Слайд №5 из презентации к уроку содержит ответы к вариантам и правила
выставления отметки за работу ).
Выставив себе отметку, обучающиеся сдают работу.
Рефлексивный момент: поднимите руки те, кто поставил себе «5», затем «4»,
«3», и те, кто сделал вывод о том, что не усвоил тему.
5.Изучение
нового
материала.
Момент урока, способствующий
повышению дальнейшей
работоспособности и
психоэмоциональной разгрузке.
Цели и задачи:
введение новых понятий и алгоритмов;
демонстрация большой практической
значимости производной в исследовании
функций;
способствовать развитию навыков
анализа, сравнения, обобщения и
систематизации учебного материала;
создать условия для проявлений
личностного подхода к учебным задачам,
выдвижению идей, постановке проблем и
поиску путей их решения.
Перед переходом к следующему этапу работы, необходимо организовать
разгрузочный момент, чтобы повысить работоспособность, снять
возможную зрительную и психоэмоциональную усталость, общее
утомление, активизировать мыслительные процессы.
Точечный массаж! Важные точки, которые необходимо взять на
«вооружение».
Середина подбородочной ямки, точка между бровей, области виска, центры
ладоней. Массируем точки по 10-15 секунд. Затем проводим щипковое
давление по краю мочек уха.
1.Мотивация введения нового алгоритма исследования функции.
Вернемся к изображенному эскизу графика некоторой функции в
предыдущем задании. Можно ли было изобразить график иначе? (учитель
перерисовывает график, меняя промежутки выпуклости и вогнутости
функции). Ребята высказывают свои мысли по данному поводу и приходят к
выводу, что у них недостаточно знаний и алгоритмов исследования для
ответа на поставленный вопрос.
Формулировка темы урока об исследовании функции на выпуклость и
точки перегиба с помощью производной.
2.Введение новых понятий и алгоритмов.
Определение понятий выпуклости или вогнутости графика функции.
Определение. Будем говорить, что график функции имеет на промежутке
выпуклость, если он расположен не выше любой касательной к графику
функции на данном промежутке.(Учитель иллюстрирует понятие рисунком).
Будем говорить, что график функции имеет на промежутке вогнутость,
если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на
данном промежутке. (Учитель иллюстрирует понятие рисунком).
Но для выявления промежутков выпуклости функции используют вторую
производную.
Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и она
больше либо равна нуля во всех точках интервала, то график функции имеет
на данном интервале вогнутость.
Самостоятельная формулировка условия выпуклости графика функции на
интервале и запись в тетрадь.
Совместная выработка плана исследования функции на выпуклость.
(обучающиеся предлагают план, аналогичный исследованию функции на
монотонность).
Выяснение роли точек, в которых вторая производная равна нулю или не
существует? ( Знак второй производной при переходе через данные точки
может смениться или остаться прежним и, соответственно, характер
выпуклости графика функции может измениться или нет).
Рассмотрение в качестве примеров функций y
4
и y= х
3
.
Подход к понятию точек перегиба графика функции.
Определение. Точка М кривой называется точкой перегиба, если в этой
точке график функции переходит с одной стороны касательной
(проведенной к кривой в точке М) на другую сторону.
Формулировка необходимого условия существования точек перегиба.
Теорема. Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке М,
необходимо, чтобы вторая производная в данной точке обращалась в ноль
или не существовала.
Формулировка достаточного условия для точек перегиба.
Теорема. Если при переходе через точку М вторая производная функции
меняет знак, то М является точкой перегиба для графика данной функции
(при этом функция имеет вторую производную в некоторой проколотой
окрестности точки М).
Переход к применению новых знаний и отработки нового алгоритма
действий.
6.Закрепление
Цели и задачи:
Найти точки перегиба графика функции y
3
-
2
+ 3х.
учебного
материала.
применение полученных знаний на
практике, развитие умений выделять
главное в объеме информации.
У
=6х-8, предположительная точка перегиба х=4/3. При переходе через нее
вторая производная меняет знак, поэтому найденное значение дает точку
перегиба. При этом слева от этой точки график функции выпуклый, а
справа- вогнутый.
7. Домашнее
задание.
Цели и задачи:
систематизировать материал,
продолжить в домашних условиях
закрепление полученных знаний и
отработку навыков.
Часть домашнего задания для обучающихся звучит так: провести
дополнительные исследования предложенной функции через первую
производную, найти точки пересечения графика функции с осями и
построить график данной функции.
Так же из № 45.2-6 (а), теоретический материал урока.
Итоги урока.
Цели и задачи: развитие рефлексивной
культуры.
Беседа по вопросам:
-Назовите имена учёных, внёсших вклад в создание и развитие
дифференциального исчисления.
-С какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения
темы?
-Какие новые алгоритмы стали вам известны?
-Назовите сферы приложения производной.
Учитель предлагает учащимся вспомнить, какие цели ставились в начале
уроке, и обсудить, все ли удалось выполнить.
Самостоятельная работа. Вариант 1.
Непрерывная функция f(x) определена на промежутке [a;b]. На рисунке задан график ее производной. Ответь те по графику производной на
следующие вопросы.
1.Укажите количество точек максимума функции.
2.Укажите число касательных к графику исходной функции, которые наклонены под углом 45 градусов к полуоси Ох.
3.Укажите количество промежутков возрастания функции.
4. Известно, что в точке x= -2 к графику исходной функции проведена касательная. Определите ее угловой коэффициент.
5.Запишите сумму абсцисс точек минимума функции.
6.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой const (константу).
7.Найдите длину минимального из промежутков убывания функции.
8. Укажите количество касательных к графику исходной функции, угловой коэффициент которых равен -1.
9. Найдите в градусах угол наклона касательной в точке с абсциссой x= -4.
10.Найдите разность между количеством точек максимума и точек минимума.
11.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой квадратичную.
12.Укажите число касательных, тангенс угла наклона которых равен 3.
13.Запишите абсциссу точки, в которой касательная к графику исходной функции имеет наибольший угловой коэффициент.
14.Запишите количество точек экстремума функции.
15.Найдите количество касательных к графику функции, параллельных прямой y=2-3x.
Самостоятельная работа. Вариант 2.
Непрерывная функция f(x) определена на промежутке [a;b]. На рисунке задан график ее производной. Ответь те по графику производной на
следующие вопросы.
1.Укажите количество точек минимума функции.
2.Укажите число касательных к графику исходной функции, которые наклонены под углом 135 градусов к полуоси Ох.
3.Укажите количество промежутков убывания функции.
4. Известно, что в точке x= 2 к графику исходной функции проведена касательная. Определите ее угловой коэффициент.
5.Запишите сумму абсцисс точек максимума функции.
6.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой линейную (не параллельную оси абсцисс).
7.Найдите длину минимального из промежутков возрастания функции.
8. Укажите количество касательных к графику исходной функции, угловой коэффициент которых равен 1.
9. Найдите в градусах угол наклона касательной в точке с абсциссой x= -2.
10.Найдите разность между количеством точек минимума и точек максимума.
11.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой квадратичную.
12.Укажите число касательных, тангенс угла наклона которых равен -2.
13.Запишите абсциссу точки, в которой касательная к графику исходной функции имеет наименьший угловой коэффициент.
14.Запишите количество точек экстремума функции.
15.Найдите количество касательных к графику функции, параллельных прямой y= -2+4x.