Презентация "Методы решения иррациональных уравнений" 10 класс


Подписи к слайдам:
Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

  • Автор: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики высшей категории ГБОУ СОШ №618 г. Москвы
  • Контингент: 10 класс физико-математического профиля.

Цель урока:

  • Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.
  • Решение более сложных типов иррациональных уравнений .
  • Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.
  • Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.

Устная работа

  • Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений:

Методы решения иррациональных уравнений

  • Введение новой переменной
  • Исследование ОДЗ
  • Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.
  • Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.
  • Выделение полного квадрата

Методы решения иррациональных уравнений

  • Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение
  • Использование свойств монотонности функций
  • Использование векторов
  • Функционально - графический метод
  • Метод равносильных преобразований
  • Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Введение новой переменной

  • Решить уравнение.
  • Решение.
  • Пусть х2+3х-6= t , t – неотрицательное число,
  • тогда имеем
  • Отсюда, t1=4, t2=36.
  • Проверкой убеждаемся, что t=36 – посторонний корень.
  • Выполняем обратную подстановку
  • х2+3х-6=4
  • Отсюда, х1= - 5, х2=2.

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1.
  • Проверкой убеждаемся, что
  • х=1 – решение уравнения.

Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • Умножим обе части уравнения на
  • Получим,
  • Имеем,
  • Отсюда,
  • Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной

  • Решить уравнение
  • Решение. Положим
  • Тогда u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3. Итак, в новых переменных имеем
  • Значит, х=3.

Выделение полного квадрата

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • Заметим, что
  • Следовательно, имеем уравнение
  • Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
  • или
  • Решением первой системы будет х=0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству
  • Ответ:

Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • Так как
  • для любых значений х,
  • то левая часть уравнения не меньше двух для
  • Правая часть
  • для
  • Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых
  • Решая второе уравнение системы, найдем х=0.
  • Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

Использование свойств монотонности функций

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет ре­шений, либо имеет единственное ре­шение. Отсюда следует, что урав­нение и(х) = v(x), где и(х) - возрас­тающая, a v(x) – убывающая функ­ции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
  • Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

Использование векторов

  • Решить уравнение
  • Решение.
  • ОДЗ:
  • Пусть вектор
  • Скалярное произведение векторов
  • Получили
  • Отсюда,
  • Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим

Самостоятельная работа с последующей проверкой

  • ВАРИАНТ 1
  • ВАРИАНТ 2

Домашнее задание

  • Решить систему уравнений
  • Решите уравнения:

Источники

  • http://rudocs.exdat.com/docs/index-18133.html
  • http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php
  • http://ru.wikibooks.org/wiki/