Обобщающий урок "Производная. Геометрический смысл производной" 11 класс


«Производная. Геометрический смысл производной», обобщающий урок алгебры в 11 классе.
Цель урока:
мобилизовать учащихся на серьезную работу;
провести глубокий анализ знаний учащихся;
наметить пути ликвидации пробелов в усвоении предмета.
Оборудование:
четыре сигнальные карточки с цифрами «, «, «3», «4»;
две сигнальные карточки (белого и зеленого цвета);
«задачи – картинки» (графики),
задание устной работы (карточки).
I. Организационный момент:
учитель объявляет тему урока.
II. Устные упражнения.
1.Вычислить: a
¼
: a
- ¾
· a
²
;
b
1/6
· b
1/6
· b°;
4
· 4
4/3
;
(m
¼
)
³
· m
5/4
;
2.Найти производную функции:
y = (7x+4)
5
y = (-3х+8)
7
y = (9 - 4х)
3
y = e
х
+9х
2
y = 4e
х
- 12
3.Найти область определения функции:
y = sin x
y = cos x
y = √x
y = log
a
x
4.Найти множество значений функции:
y = sin x - 4
y = 12 + cos x
y = 5 +cos
2
x
y = 2
х
III. Математический диктант (на листочках).
1. Записать определение производной с помощью математических символов.
2. Когда функция дифференцируема в точке?
3. Записать правила дифференцирования.
4. Чему равна производная показательной функции?
5. Чему равна производная логарифмической функции?
6. В чем заключается геометрический смысл производной?
7. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х
0
.
8. Найти производную функции y = tg х.
9. Найти производную функции y = ctg х.
(Один учащийся выполняет на обратной стороне доски для самопроверки. Листочки собраны,
математический диктант проверен.)
IV. «Задачи – картинки».
(С использованием сигнальных карточек с цифрами «1», «2», «, «4». Учащиеся поднимают
сигнальные карточки с номером верного ответа.)
1. а). График какой функции изображен на рисунке 1?
Рисунок 1.
б). Чему равна производная этой функции?
1) cos х 2) cos х 3) – sin х 4) 1/ cos
2
х
2. а). График какой функции изображен на рисунке 2?
Рисунок 2.
б). Чему равна производная этой функции?
1) cos х 2) - 1/sin
2
x 3) sin х 4) – cos х
3. а). График какой функции изображен на рисунке 3?
Рисунок 3.
б). Чему равна производная этой функции?
1) x 2) x² 3) 2x 4) 2x
2
4. а). График какой функции изображен на рисунке 4?
Рисунок 4.
б). Чему равна производная этой функции?
1) a
x
2) 1og
a
x 3) a
x
1na 4) 1/x
5. а). График какой функции изображен на рисунке 5?
Рисунок 5.
б). Чему равна производная этой функции?
1) x² 2) √x 3) 1/x 4) 1/2√x
V. Верно – не верно!
учащихся две карточки: белого и зеленого цвета. При утвердительном ответе учащиеся
поднимают белую карточку, при отрицательном – зеленую)
1. Верно ли, что производная суммы равна сумме производных?
2. Верно ли, что производная постоянной равна единице?
3. Верно ли, что производная функции e
x
равна e
x
1ne?
4. Верно ли, что 1/cos
2
x есть производная для функции cosx?
5. Верно ли, что производная 1nx равна 1/x²?
6. Верно ли, что y = sinx четная функция?
7. Верно ли, что значение производной функции в точке равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в этой точке?
VI. Решение заданий.
1. Написать уравнение касательной к графику функции y = 3x² − x, в точке x
0
=1.
Решение.
y' = 6x − 1
y'(1) = 6 −1= 5
y(1) = 3·1² −1= 2
y = f(x
0
) + f '(x
0
)(x x
0
)
y = 2 + 5(x−1) = 2 + 5x −5
y = 5x −3 - уравнение касательной
Ответ: y = 5x −3
2. Написать уравнение касательной к графику функции y = sinx − 3x + 2, x
0
= 0.
Решение.
y' = cosx −3
y'(0) = cos0 −3 = 1− 3 = −2,
y'(0) = sin0 0 + 2 = 2
y = 2 −2(x −0)
y = −2x + 2 - уравнение касательной
Ответ: y = −2x + 2
3. Найти производную функции:
а) f(x) = sin(2x + π/4)
f '(x) = 2cos(2x + π/4)
Ответ: 2cos(2x + π/4)
б) f(x) = e
x
·x²
f '(x) = (e
x
)'x² + e
x
(x²) = e
x
·x² + 2xe
x
= xe
x
(x+2)
Ответ: xe
x
(x+2)
4. Найти производную функции:
y = e
x
/ cosx
y'=( e
x
/ cosx)'= ((e
x
)' cosx - e
x
(cosx)')/ cos
2
x = (e
x
cosx+ e
x
sin x)/ cos
2
x
= (e
x
(cosx+ sin x))/
cos
2
x
Ответ: (e
x
(cosx+ sin x))/
cos
2
x
VII. Подведение итогов.
VIII. Домашнее задание.
Индивидуальная карточка каждому учащемуся.
Урок окончен. Спасибо за внимание!
Список литературы:
1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др./ Учебник для 10-
11 классов общеобразовательных учреждений – М.:, Просвещение, 2008 г.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов/ Учебник для
общеобразовательных учреждений, 11 класс – М.: Мнемозина, 2007 г.
3. Ковалева Г. И. Тренажеры. Тесты. Самоучители. «Математика. Для учащихся 11 класса и
поступающих в вузы», составители: Г. И. Ковалева, Т. И. Бузулина и др.