Конспект урока "Решение уравнений с параметрами координатно - параметрическим методом"
1
Тема урока:
«Решение уравнений с параметрами
координатно – параметрическим методом».
Цель и психолого-педагогические задачи урока (сдвоенного):
Ι. Общеобразовательная (нормативная) цель (на этапе подготовки к ЕГЭ): повторить и закрепить
функционально - графические методы решения задач с параметрами, приемы решения задач с
параметрами функционально – графическим методом в координатной плоскости (хоу) и (хОа).
ΙΙ. Задачи математического развития учащихся: на нестандартном учебно-математическом
материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной
структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и
индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и
образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и
самостоятельности как метакогнитивной способности школьников; продолжить развитие культуры
устной и письменной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.
III. Воспитательные задачи: продолжить личностно ориентированное воспитание у школьников
познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической
самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с классом, учителем, соклассниками;
аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к
высоким и высшим её результатам.
Тип урока: по критерию ведущей цели – урок повторения, закрепления; по критерию ведущего
математического содержания – урок – практикум; по критерию типа информационного
взаимодействия учащихся и учителя – урок сотворчества, сотрудничества и соревновательности.
Ход урока
I этап урока. Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства
долга, ответственности, познавательного интереса учащихся при подготовке к ЕГЭ.
Здравствуйте! Сегодня мы продолжаем цикл практических занятий по подготовке к ЕГЭ по теме:
«Решение задач с параметрами». На прошлом занятии мы решали задачи С5 функционально –
графическим способом в координатной плоскости (ХОУ). Ян Стюарт сказал: «10 из 100
математиков мыслят формулами. Но остальные мыслят образами, их интуиция геометрическая.
2
Картинки несут гораздо больше информации, чем слово…. Да, они не строгие, но они помогают
думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать».
Напомним, какова структура решения задач с параметром в координатной плоскости (ХОУ):
1. Строим график функции у = f(x,a), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а.
2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой.
3. Читаем график и находим необходимый графический образ.
На прошлом занятии все ребята получили банк задач С5, решаемых графическим способом.
Некоторые из них мы рассмотрели на занятии, другие были даны в качестве домашнего задания.
Проверим решение задания С5 ЕГЭ по математике из резервного дня 20 июня 2011 года и задания
С5 ЕГЭ по математике из основного потока 6 июня 2011 года. В целях экономии времени я
попросила подготовить слайдовую презентацию решения задач.
Задача №1
Найти все значения a , при каждом из которых система имеет единственное решение
245
2
x
xy
aaxy
xa
22
29
Решение:
Первое уравнение системы задает полуокружность с центром (2; 2) и радиусом 3.
9,2
)2()2(
22
xy
y
Второе уравнение задает
полуокружность с центром (а;а) и
радиусом 3.
9,
)()(
22
ayax
aу
Центр окружности лежит на
прямой у = х
3
245
2
x
xy
aaxy
xa
22
29
Найти все значения a , при каждом из которых система
имеет единственное решение
Ответ:
5;22;1 a
Задача №2
№7 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых
система имеет единственное решение
9
)3(
)5(
2
2
у
х
а
ух
2
22
)1(
7
Первое уравнение системы задает окружности с центрами (5; 3), (-5;3) и R = 3
Второе уравнение задает окружность с центром (1; 0) и R=
a
4
№7 Найдите все положительные значения а, при
каждом из которых система имеет единственное
решение
9
)3(
)5(
2
2
у
х
а
ух
2
22
)1(
8
1). AB=5, BC = 3. Таким образом, R = AC = AB-BC =2, =2
a
2).
53453
63
22
1
DA,D
C
533
1
c
AR
533a
Ответ:
2;533 аа
В зависимости от задачи ( с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в
координатной плоскости (ХОУ) или в координатной плоскости (хОа). Сегодня мы остановимся
на решении уравнений с параметром в координатной плоскости (ХОА). Функционально –
графический метод решения уравнений в координатной плоскости (хОа) в некоторой литературе
называют координатно – параметрическим методом.
Итак, тема занятия: «Решение уравнений с параметром координатно – параметрическим
методом».
5
Решение уравнений с параметром
в плоскости ХОА
Идея.
Построим график
уравнения с
параметром как
график уравнения с
двумя переменными
),(
11
ax
1
a
1
x
F(x,а)=0
Х
А
Каждая точка контура
показывает, какое значение x
является решением при
заданном значении параметра.
Задача №1.
Решить уравнение
.
Решение. Решим уравнение координатно – параметрическим методом, используя координатную
плоскость (ХОА). Для этого построим в плоскости (ХОА) прямые заданные уравнениями
и .
Указанные прямые разбивают всю плоскость (ХОА) на 4 области. С учетом разбиения плоскости
(ХОА) на области I, II, III, IV составим таблицу:
Область
I
II
III
IV
Знак
+
-
-
+
I
II
III
IV
х
6
Знак
-
-
+
+
В области I уравнение принимает вид ,
.
В области II уравнение запишется в виде (2)
В области III имеем уравнение
.
В области IV – это уравнение
На границах соответствующих областей прямые (1), (2), (3), (4) пересекаются с прямыми
и в точках А(8;4) и В(-4;8); В(-4;8) и С (-8;-4): С(-8;-4) и D(4; -8); D(4; -8) и А
(8;4).
Рассматривая варианты пересечения прямой с построенным множеством,
выписываем ответ:
Если
если
4), то
,
; если
, если
если
7
Задача №2
В зависимости от значений параметра решить уравнение
= .
Решение.
Исходное уравнение равносильно системе:
Перепишем систему в виде:
Построим в плоскости (хо) график функции
при условии .
Ответ: если
x
1
0,5
-3
-2
0
- 2
8
; если
Задача №3
В зависимости от значений параметра определить число корней уравнения
Решение.
На координатной плоскости xo строим прямую, заданную уравнением , а также
графики функций, заданных соотношениями
при условии < 0 и
при условии
Графики функций пресекаются с прямой в точках А(-1; -1) и В(-2;-2)
Минимальное значение
функция достигает при х = -3. Рассматривая теперь
всевозможные варианты пересечения прямой , с построенным множеством
выписываем ответ.
Ответ: при
,
уравнение имеет два корня, при
,
уравнение имеет три корня, при
; -2) уравнение имеет четыре корня.
Задача №4
При каждом а решите систему уравнений
Решение.
Запишем второе уравнение в виде
-3
-2
А
-1
-1
х
0
В
9
.
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек до точек
и равно . Поскольку расстояние между точками и тоже равно , это
означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки и . Другими
словами, она удовлетворяет уравнению и условию .
Таким образом, исходная система равносильна системе
Подставив 2а в первое уравнение, получаем
.
Поскольку функция возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение
она принимает ровно один раз. Поэтому решение — единственное, ему соответствует .
Ответ: если , то , при остальных а нет решений.
Задача № 5
В зависимости от значений параметра определить число корней уравнения
Решение.
10
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решение уравнений с параметром в координатной плоскости (ХОа). В чем
преимущества этого метода:
1. Экономия времени.
2. Подсказка на более рациональный аналитический метод решения.
3. Отсутствие сложных и громоздких вычислений.
На сайте «Гимназического союза России» размещены материалы подготовки к уроку. Там вы
найдете статью «Решение уравнений с параметрами координатно – параметрическим методом».
Теперь , читая ее, вам будет легче разобраться с предложенными заданиями. Первый шаг всегда
самый сложный, нужно увидеть какие преобразования выполнить, какой метод или способ
выбрать. Все это достигается через огромный труд и тренировку.
«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать
задачи, то решайте их». Д. Пойя.
Моя цель – показать использование наиболее рациональных подходов к решению различных
типов задач с параметрами.
Следующее занятие мы посвятим решению неравенств координатно – параметрическим методом.
-1
1
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы" 10 класс
- Презентация "Тест "Разложение многочлена на множители"" 8 класс
- План-конспект разработки урока "Иррациональность" 8 класс
- Методическая разработка открытого урока "Разложение многочлена на множители" 7 класс
- Конспект урока "Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел с разными знаменателями"
- Технологическая карта урока "Решение систем уравнений второй степени" 9 класс
