Презентация "Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • Тема: «Предел числовой последовательности.
  • Теоремы о пределах. Бесконечно малые и
  • бесконечно большие последовательности.
  • Бесконечно убывающая геометрическая
  • прогрессия и ее сумма».

  • Математика может открыть определенную последовательность
  • даже в хаосе.
  • Гертруда Стайн (1874 – 1946г.)

  • Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё
  • в глубокой древность, связано оно с исследованием площадей
  • фигур и объёмов тел. Идея предельных переходов была
  • использована величайшим греческим математиком IV в. до н.э.
  • Евдоксом Книдским( метод исчерпывания).
  • Евдокс Книдский
  • IV в. до н.э.

  • Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. С помощью метода исчерпывания Евдокс нашёл площадь круга, объём пирамиды и конуса.
  • метод исчерпывания

  • Наиболее плодотворным метод исчерпывания стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда(287 до н. э. — 212 до н. э). который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий.
  • Архимед
  • (287 до н. э. — 212 до н. э)

  • площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
  • В частности, он обнаружил, что объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.
  • Открытия Архимеда

  • Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов.
  • Исаак Ньютон
  • (1642 – 1727)
  • Леонард Эйлер
  • (1707 - 1783)
  • ЖозефЛуи Лагранж
  • (1736 – 1813)

  • Эволюция понятие предела происходила на протяжении 2500 лет. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.
  • Бернард Больцано
  • (1781 - 1848)
  • Огустен Луи Коши
  • (1789 – 1857)

  • Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (b – ε, b + ε).
  • b
  • b+
  • b-
  • b2
  • b1
  • b3
  • b4
  • b5
  • b6

  • Многих художников привлекали пластические возможности понятий предела и бесконечности. На иллюстрации — одна из работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898—1972), вдохновленного этой темой.
  • В современной математике предел является одним из самых загадочных понятий.
  • Мир бабочек

  • Предел круга III

  • Математика может открыть определенную последовательность
  • даже в хаосе.
  • Гертруда Стайн (1874 – 1946г.)

  • Эта последовательность длин диаметров дает пример переменной величины x n , которая в процессе своего изменения, т. е.
  • с возрастанием номера n , неограниченно приближается к нулю. Предел этой последовательности равен нулю:
  • Предел - важнейшее понятие математики.
  • Последовательность вписанных
  • все уменьшающихся окружностей
  • и соответствующую им последовательность длин их диаметров: x1, x2, x3,x4,… .

  • С рассмотренной последовательностью вписанных окружностей свяжем другую переменную величину yn последовательность сумм их диаметров: y1=x1 ,
  • y2=x1+x2,
  • y3=x1+x2+x3,
  • y4=x1+x2+x3+x4 ,
  • -----------------
  • Все диаметры повернём на угол 90°,
  • тогда предел последовательности yn
  • равен - длине высоты h
  • равнобедренного треугольника :

  • Теоремы о пределах
  • 1.
  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • ,где
  • , (bn )
  • где