Презентация "Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности"

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. С помощью метода исчерпывания Евдокс нашёл площадь круга, объём пирамиды и конуса.

Наиболее плодотворным метод исчерпывания стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда(287 до н. э. — 212 до н. э). который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий.

В частности, он обнаружил, что объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов.

Эволюция понятие предела происходила на протяжении 2500 лет. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (b – ε, b + ε).

Многих художников привлекали пластические возможности понятий предела и бесконечности. На иллюстрации — одна из работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898—1972), вдохновленного этой темой.

Эта последовательность длин диаметров дает пример переменной величины x n , которая в процессе своего изменения, т. е.
с возрастанием номера n , неограниченно приближается к нулю. Предел этой последовательности равен нулю:

С рассмотренной последовательностью вписанных окружностей свяжем другую переменную величину yn последовательность сумм их диаметров: y1=x1 ,
y2=x1+x2,
y3=x1+x2+x3,
y4=x1+x2+x3+x4 ,
-----------------