План-конспект урока "Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля" 10 класс

План-конспект урока
Предмет Алгебра и начала анализа.
Класс 10.
Тема: «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».
Учебно-методический комплект автора А. Г. Мордковича.
Цель урока:
изучить методы решения уравнений и неравенств, содержащие модуль;
рассмотреть различные примеры их применения.
Задачи урока:
рассмотреть понятие модуля;
рассмотреть методы решения уравнений и неравенств данного вида;
применить изученные методы к конкретным примерам.
Ход урока:
I. Сообщение темы урока.
II. Содержание учебного материала:
модуль числа и его свойства;
методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак
модуля.
План-конспект
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Модулем (абсолютной величиной) числа а называется само
число а, если а 0, и число –а, если а < 0.
Свойства:
1
0
. |а| ≥ 0.
0a
.
2
0
. |а b| есть расстояние между точками a и b числовой оси; в
частности, |а| равен расстоянию от точки а до точки 0 числовой оси
(геометрический смысл модуля).
3
0
. |а| = |а|.
4
0
. |аb| = |а|·|b|;
b
a
b
a
(b0).
5
0
. |а|
2
= а
2
= |а
2
|.
6
0
.
ba
ba
b
ba
,
,0
7
0
.
ba
ba
ba
,
8
0
.
ba
ba
ba
,
9
0
.
22
baba
10
0
.
, причем
0 abbaba
Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения
уравнений и неравенств с модулем:
1) «раскрытие» модуля (т. е. использование определения);
2) использование геометрического смысла модуля (свойства 2);
3) использование равносильных преобразований (свойства 6-10);
4) замена переменной (при этом используется свойство 5).
Традиционным является «раскрытие» модуля (метод интервалов). Суть
метода заключается в том, что числовая ось разбивается на несколько
интервалов нулями функций, стоящих под знаком модуля в данном
уравнении (неравенстве). На каждом из этих интервалов любая из указанных
функций либо положительна, либо отрицательна. Поэтому каждый из
модулей раскрывается либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Таким
образом, остается найти решение уравнения еравенства) на каждом
интервале и объединить эти решения.
Пример 1. Решить неравенство:
.121223 xxx
Решение.
Рассмотрим четыре случая.
1.
1
1
,1
122223
,1
x
x
x
xxx
x
2.
1
3
2
1
1
3
2
122223
,1
3
2
x
x
x
xxx
x
3.
3
2
3
1
3
1
,
3
2
0
122223
,
3
2
0
x
x
x
xxx
x
4.
1
1
,0
122223
,0
x
x
x
xxx
x
Объединим эти решения:
Ответ:
;
3
1
1;
.
Пример 2. Решить уравнение:
.1095
22
xxxx
-1
3
1
3
2
1
x
3x-2
x
x-1
1
0
3
2
Решение.
Пусть
axx 5
2
. Тогда уравнение примет вид
104 aa
.
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой
оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10.
Очевидно, искомые точки лежат вне отрезка [0; 4]. Рассмотрим точку,
лежащую левее точки 0 на оси. Пусть эта точка –