Открытый урок "Решение нестандартных показательных уравнений" 11 класс

государственное бюджетное общеобразовательное
учреждение
Самарской области лицей города Сызрани
городского округа Сызрань Самарской области
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе:
«Решение нестандартных показательных уравнений»
(комбинированный урок)
Форма урока: урок-практикум.
Составила: учитель математики
Жукова С.В.
г. Сызрань
2014-2015 г
Открытый урок по теме:
«Решение нестандартных показательных уравнений».
Цели:
Образовательные:
систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся,
связанные с применением методов решения показательных уравнений;
сформировать умения решать нестандартные показательные
уравнения;
способствовать развитию навыков самостоятельного применения
знаний при решении показательных уравнений, в том числе
нестандартными способами.
Развивающие:
формировать познавательную мотивацию учащихся в учебный
процесс;
формировать эмоциональную включенность учащихся в учебный
процесс;
формировать развитие познавательного интереса;
формировать развитие у учащихся самостоятельности.
Воспитательные:
умственное воспитание: формирование логического, абстрактного,
системного мышления;
воспитание сознательной дисциплины и норм поведения;
воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные
решения;
воспитание интереса к истории математики как науки.
Оборудование: интерактивная доска, слайдовая презентация.
План урока:
I. Проверка домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных
уравнений.
IV. Самостоятельная работа по выбору.
V. Подведение итогов урока.
VI. Задание на дом.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
Фронтальный опрос учащихся.
1. Какая функция называется показательной?
2. Какими свойствами обладает показательная функция?
3. Какова её область определения?
4. Какова область изменения?
5. Какова показательная функция по монотонности?
6. Возрастает или убывает функция:
а) y=
x
5
3
; б) y=
x
3
16
; в) y=
x
10
325
; г) y=
x
10
325
?
7. Сформулируйте теорему о корне.
- Повторим методы решения простейших показательных уравнений на
конкретных примерах. Как будете решать уравнения? (слайдовая
презентация)
1)
324
x
2)
1433
11
xx
3)
06254
xx
4)
3
1
5
sin
x
5)
15
sin
x
III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных
уравнений.
Решить уравнения:
1)
1635
xx
(Учитель на доске дает образец решения уравнения.)
Решение.
Подбором определяем, что x=2 корень данного уравнения.
верно 1635
22
Докажем, что других корней у уравнения нет.
16351635
xxxx
, так как
03
x
, то и
x
x
3
16
1
3
5
.
Функция
x
xf
3
5
)(
- возрастающая на R, а функция
x
x
3
16
1)(
-
убывающая на R.
Значит, уравнение
x
x
3
16
1
3
5
имеет единственный корень. Поэтому
корней у данного уравнения, кроме
2x
, нет.
Ответ: 2.
2)
xxxx
9432
(Учитель делает только первый переход к
равносильному уравнению, а затем кто-то из учеников решает на доске,
комментируя решение.)
Решение:
1-ый способ.
xxxx
9432
22
23324932
xxxxxxxx
023123232332
xxxxxxxxxx
,
так как
032
xx
, то
xxxx
3210231
1
3
1
3
2
xx
В левой части уравнения убывающая функция (как сумма двух убывающих
функций, поэтому, если уравнение имеет корень, то он единственный).
Очевидно, что
1x
, так как
1
3
1
3
2
Ответ: 1.
2-й способ.
1
9
4
3
1
9
2
9432
xxx
xxxx
, так как
09
x
.
В левой части уравнения убывающая функция (как сумма трех убывающих
показательных функций). Тогда по теореме о корне – уравнение имеет
единственный корень, а поэтому единственный корень имеет и равносильное
ему данное уравнение.
xxxx
9432
.
Нетрудно видеть, что
1x
- корень
верно
1111
9432
Ответ: 1.
3)
x
xx
10325325
Решение: (Один из учащихся решает на доске)
010
x
, разделим обе части уравнения на
x
10
, тогда
.(*)1
10
325
10
325
xx
1
10
325
0
и
1
10
325
0
В левой части уравнения (*) - сумма двух убывающих функций есть функция
убывающая. А поэтому, если уравнение (*) имеет корень, то он
единственный.
2x
1
10
325
10
325
10
325
10
325
22
Ответ: 2.
4)
02,0525356
1sin1sin22
xx
xx
Решение:
Найдем О.Д.З. х:
51056056
22
xxxxx
.
5;1x
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один
из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
056
2
xx
или
02,05253
1sin1sin2
xx
056
2
xx
Пусть
0,5
sin
tt
x
, тогда
056
2
xx
0
5
1
5
2
5
3
2
tt
5;1
21
xx
0123
2
tt
3
1
;1;
3
21
;431
4
212;1
ttt
D
15
sin
x
или
;
3
1
5
sin
x
0sin x
Пустое множество
Znnx ,
,
но
51 x
(О.Д.З.), т.е.
xnn ,1,51
(это третий корень
данного уравнения).
Ответ: 1; 5;
.
5)
02222134 xx
xx
Решение:
Обозначим
y
x
2
,
22
24 y
xx
и получим квадратное относительно y
уравнение.
022213
2
xyxy
811888816926222413
22
2
xxxxxxxD
2
9 x
2
)9(13
2;1
xx
y
;
2
2
913
1
xx
y
x
xx
y
11
2
913
2
Итак, имеем:
1
,22
x
x
или
x
x
112
В левой части уравнения возрастающая функция,
а в правой убывающая. Уравнение не может иметь
более одного корня.
верно
x
3112
3
3
Ответ: 1; 3.
6)
xxx 2
3322
2
Решение:
0
2
x
, следовательно,
12
2
x
Пусть
xx 2
332
и
0,3 yy
x
.
Тогда
111122
2
22
yyyyy
.
11
2
y
Рассмотрим
10
.
Наибольшее значение квадратичная функция
y
принимает при
1,1 y
.
Таким образом,
12
2
x
1332
2
xx
.
Данное равенство справедливо при
13322
2
2
xxx
, что возможно при
0x
.
Ответ: 0.
7)При каких значениях параметра «b» уравнение
04532329
2
bbb
xx
имеет два различных корня?
Решение:
Обозначим
0,3 tt
x
.
045232
22
bbtbt
.
Для того чтобы корни
1
t
и
2
t
были положительны и различны, необходимо и
достаточно:
0D
,
04523
2
2
bbb
,
0
21
tt
,
0232 b
,
0
21
tt
,
045
2
bb
,
01
2
b
,
1b
,
8,0b
,
8,0b
.
Ответ:
;11;8,0
.
IV. Самостоятельная работа по выбору.
За 10 минут решить любые два (из трех) уравнения (слайдовая
презентация):
1)
x
x
x
13512
2
,
2)
18549549
xx
,
3)
03233
185112
2
xxxx
.
На интерактивной доске приготовлены решения этих уравнений
(для сличения после 10 минут).
1) Решение:
1
13
5
13
12
,013
xx
x
.
 
x
xf
13
12
и
x
x
13
5
- убывающие функции на R, сумма двух
убывающих функций есть функция убывающая, поэтому уравнение
1
13
5
13
12
xx
имеет единственный корень
2x
1
169
25144
13
5
13
12
22
.
Ответ: 2.
2) Решение:
151681549549
.
549
1
549
.
Пусть
y
x
549
, где
0y
, тогда
18
1
y
y
;
0118
2
yy
;
8019
4
2
D
,
549
1
549
2;1
y
.
549
1
y
;
549
2
y
;
549549
x
, или
549549
x
,
1
2
549549
x
,
549
1
549
2
x
,
1
2
x
,
1
2
x
,
2x
2x
.
Ответ: 2; -2.
3)
03
18
x
, разделим обе части уравнения на
18
3
x
03233
185112
2
xxxx
0233
18511812
2
xxxxx
0233
34782
22
xxxx
.
Пусть
0,3
34
2
tt
xx
, тогда уравнение примет вид:
023
2
tt
,
0
3
2
,1,25241
21
ttD
.
1t
, тогда
3;1,034,13
21
234
2
xxxx
xx
.
Ответ: 1; 3.
V. Подведение итогов урока.
Мы рассмотрели примеры решения трансцендентных уравнений.
Огласить отметки за решение уравнений на уроке.
Задание на дом:
1) Решить уравнение:
052535
162112
2
xxxx
.
2) При каких значениях параметра «a» уравнение
0342354
2
aaa
xx
имеет единственное решение?
3) Решите уравнение:
452...642
04,05
x
.